Ahora que no tenemos nada que hacer, hagamos un experimento mental inspirado en el matemático John Allen Paulos. Tú vives en un barrio estupendo de calles arboladas, arquitecturas compatibles con la estética y todas las tiendas, servicios y terrazas que pueda desear un vecino. Un día lees en el periódico que van a poner cerca una incineradora de basuras, y que eso triplica el riesgo de una rara y letal enfermedad respiratoria. ¿Qué haces? Largarte del barrio, por supuesto. ¿Haces bien? No. Como la enfermedad es rara, tu riesgo de morir de ella era de un 0,001% antes de la incineradora, y después será del 0,003%. Lo más probable, por tanto, es que te acabes muriendo de lo mismo que todo el mundo, infarto y cáncer, y no de esa remota posibilidad de la enfermedad rara. Antes te matará una teja en la cabeza, por más que el riesgo se haya triplicado. Debiste quedarte en tu barrio.
Nacemos con sesgos cognitivos, y uno de ellos consiste en descubrir causas donde no las hay. Hay un ejemplo que le vi exponer a Francis Crick en una conferencia en Cambridge, en los primeros noventa, y que no ha abandonado mi cabeza desde entonces. Los neurocientíficos querían conocer los principios de la visión en relieve, y una línea de investigación pujante era mostrar a los voluntarios un patrón disperso de manchas y puntos distinto para cada ojo. Los sujetos veían en relieve ese patrón, y los investigadores se esforzaban en cambiar aquí la posición de un punto y allá la de otro para ver cuándo se perdía la visión en 3D, y por tanto cuáles eran los fundamentos de esa capacidad humana. Pero no había manera: todo el mundo seguía viendo en relieve por muchos puntos que le cambiaras.
Un psicólogo experimental se acabó mosqueando y mostró a cada ojo de los sujetos dos patrones de puntos diseñados al azar. ¿Adivinan lo que pasó? Exacto, que los voluntarios siguieron viendo en relieve. Inventaron la tercera dimensión del azar, aunque obviamente no había ninguna. Nuestro cerebro está programado para encontrar pautas en el mundo, y tenemos que reeducarlo para que no se fíe de ellas.Nacemos con sesgos cognitivos, y uno de ellos consiste en descubrir causas donde no las hay
Otros ejemplos cotidianos: en cuanto enciendo un pitillo llega el autobús; es lavar el coche y te cae una tormenta de barro; siempre voy por el carril más lento y voy a armar un cisco para pasarme al otro. La mayoría de las supersticiones se basan, en realidad, en el mismo sesgo de causalidad con el que nacemos lastrados.
La cuestión puede parecer un arcano académico, pero es exactamente lo que estamos viendo con la vacuna de Oxford/AstraZeneca. La pauta inexistente empezó con tres casos de trombosis en noruegos vacunados, siguió por Irlanda, Dinamarca y, sobre todo desde que llegó a Alemania, se ha extendido por la mayor parte de Europa, España incluida. Resultado: dos semanas de parada de la vacuna de Oxford sin el menor argumento racional y con la forma clásica de la espantada en un gallinero. Muy mal.
El reciente premio Nobel de Física Roger Penrose es, además, uno de los más brillantes e imaginativos matemáticos de nuestro tiempo
Teselación de Penrose.
La condición necesaria y suficiente para que un hexágono irregular pueda teselar el plano (ver artículo anterior) es que tenga simetría central, como en el teselado hexagonal achaflanado de la figura. En este caso, las teselas irregulares tienen, además, simetría axial, condición no necesaria, y se combinan con teselas regulares; pero salta a la vista que se puede teselar el plano prescindiendo de los pequeños hexágonos regulares.
En las últimas semanas hemos hablado de teselas y de Penrose, por lo que es inexcusable unir ambos términos y dedicar unos párrafos a las teselas de Penrose.
Todas las teselaciones de las que nos hemos ocupado recientemente, así como la inmensa mayoría de las que podemos ver en mosaicos y embaldosados de todo tipo, son periódicas, lo que significa que podemos delimitar en ellas una región que pavimenta el plano por traslación, es decir, desplazándola sin someterla a giros ni simetrías (una manera informal de decirlo es que el mismo diseño básico se mantiene a lo largo y a lo ancho de todo el teselado).
Los polígonos regulares que pueden teselar el plano -el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular- solo pueden hacerlo de forma periódica; pero con rombos iguales, por ejemplo, podemos realizar teselaciones tanto periódicas -el típico arlequinado- como aperiódicas (¿puedes dibujar alguna?).
Un tipo peculiar de teselaciones aperiódicas son las agrupaciones de teselas que forman copias de sí mismas a mayor escala, que Solomon W. Golomb denominó reptiles (contracción de repetitive tiles, teselas repetitivas), como vimos hace unos meses al hablar de los poliominós.
Durante mucho tiempo se pensó que todas las teselas que podían dar lugar a teselaciones aperiódicas, también podían reordenarse en configuraciones periódicas, como en el caso de los rombos o los reptiles; pero a partir de los años setenta del siglo pasado se han descubierto conjuntos de teselas que solo pueden dar lugar a teselaciones aperiódicas, como las seis teselas obtenidas por Raphael M. Robinson a partir del cuadrado, o las seis de Robert Ammann, que vemos en la figura, también a partir del cuadrado.
Pero quien más ha avanzado en este campo es Roger Penrose, reciente Premio Nobel de física, que en 1973 descubrió un conjunto de seis teselas que imponen la teselación aperiódica. En 1974 las redujo a cuatro, y posteriormente las redujo a dos.
Hay dos parejas de estas teselas de Penrose binarias: una formada por dos rombos de lados iguales, pero ángulos distintos (¿puedes calcularlos?), y otra formada por dos cuadriláteros con simetría axial, uno cóncavo y otro convexo, obtenidos por partición del rombo menos alargado de la pareja anterior, y que John Conway denominó dart y kite (dardo y cometa). Para que el teselado al que pueden dar lugar sea necesariamente aperiódico, hay que imponer ciertas restricciones; de lo contrario, es evidente que con la pareja de rombos se puede realizar un teselado periódico, y que un dardo y una cometa pueden acoplarse reconstruyendo el rombo del que derivan, con el que la teselación periódica es igualmente obvia. Las restricciones pueden materializarse, por ejemplo, coloreando los lados y permitiendo solo la unión de lados del mismo color, o añadiendo salientes y entrantes que limiten las formas de acoplamiento, como se ve en la figura.
Cuasicristales
Los teselados aperiódicos podrían parecer un mero divertimento matemático sin conexión con el mundo real; pero el descubrimiento de los cuasicristales a mediados de los años ochenta del siglo pasado (por el que Dan Shechtman recibió el Premio Nobel de química), mostró que en la naturaleza se forman estructuras ordenadas, pero no periódicas, lo que supuso una auténtica revolución en el campo de la cristalografía. Pero ese es otro artículo.
Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.
El autor explica cómo detrás de una ecuación puede estar la clave para conocer la evolución de un tumor o administrar una nueva vacuna, aunque el matemático que la resuelva ni siquiera lo sepa.
Cuando asistimos a alguna conferencia o una clase de matemáticas, es bastante común preguntarnos para qué servirá todo eso que, normalmente con cierta pasión, relata el profesor de turno. En estos pequeños relatos que vamos escribiendo cada semana, también aparecen con cierta frecuencia comentarios similares. Se sigue pensando en el matemático como alguien que vive en su mundo haciendo cosas inútiles (en el científico en general, aunque con esto de la pandemia, algunos han descubierto un poco algún sentido a tanto esfuerzo aparentemente tan poco rentable; rentable a corto plazo, debemos recalcar, porque lo desconocido no se desvela en un ‘aquí te pillo, aquí te mato’, en que la sociedad actual quiere convertirlo todo). Desde luego no se puede negar que una gran parte de que se tenga esa equivocada percepción es nuestra, bien sea por no valorar el esfuerzo que implica transmitir nuestros trabajos al resto de los mortales de un modo entendible, bien por la soberbia de ‘esforzaos y aprended que lo suyo me costó a mí’ (argumento casi residual en la actualidad afortunadamente, por la cuenta que nos trae), u otras espúreas razones.
El caso es que lo que percibe el personal es en muchos casos una pizarra en la que el ponente escribe algo así
y prosigue describiendo cómo ha intentado resolver esa ecuación, para seguramente acabar al cabo de una hora larga diciendo que todos esos intentos no han llegado a ninguna parte y que tratará de aplicarle un método numérico cuyos avances nos contará dentro de, ¿seis meses? ¿tres años? Tiempo que dedicará, día tras día, a rellenar folios, implementar simulaciones en el ordenador, etc., etc., aparentemente ajeno al mundo.
Lo que no se cuenta, es que, quizá detrás de la resolución de esa ecuación diferencial esté la clave para conocer la evolución de un tumor cancerígeno, o cómo administrar eficazmente y sin riesgos para los enfermos una nueva vacuna, o prever la propagación de un incendio en un bosque de difícil acceso. Más aún, seguramente el matemático que está tratando de resolver esa ecuación tampoco lo sepa. Porque no es su cometido. El conocimiento científico está en la actualidad tan segmentado, tan diversificado, que es materialmente imposible que todos conozcan lo que hace el resto de la cadena investigadora, simplemente por cuestión de tiempo: si tratar de buscar un procedimiento que resuelva la igualdad puede llevar años (o incluso no poder resolverla nunca, como sucede con un montón de enigmas planteados desde hace siglos; eso si son enigmas, y no las tonterías que se escuchan por ahí, que seguramente no pasen de meras anécdotas, casualidades o invenciones de gentes sin nada mejor que hacer y que pretenden dejar su nombre para la posteridad en base a nada. El ‘aquí te pillo, aquí te mato’ de antes nuevamente omnipresente, y en época de redes sociales, más).
Entonces, ¿cómo voy a perder un tiempo que no tengo en ponerme al día de tal fenómeno físico, médico o de la disciplina que sea? E igual el resto respecto a las matemáticas, por supuesto.
Afortunadamente, cada vez más y mejor, aparecen personas, publicaciones, medios de comunicación que tratan de poner un poco de claridad en el funcionamiento de estas cosas. Pero también hay que pedir al lector un poco de colaboración y confianza en el sentido de asumir la pertinencia y utilidad de todos esos trabajos e investigaciones, aunque no acabe de entender muchas de las cosas que nos cuentan. Sirva esta pequeña y probablemente imperfecta introducción para describir en qué consisten y que llevan detrás igualdades como la descrita arriba (y de paso satisfacer un poco al lector que hace unas semanas nos indicaba, con razón, que hay más en las matemáticas que la teoría de números, la geometría o los conceptos más elementales).
Ecuaciones
Todos conocemos del colegio lo que es una ecuación. Se trata de una igualdad en la que hay un valor desconocido que queremos averiguar, y lo conseguimos en base a unas operaciones algebraicas perfectamente determinadas que son las que aprendemos y con las que nos tiramos toda nuestra etapa escolar muchas veces sin encontrarle mayor utilidad que averiguar el número de conejos, gallinas y demás habitantes de una idílica granja.
Recordamos además que, según el exponente de la incógnita, o del número de igualdades que tengamos, las ecuaciones se clasifican en distintos tipos, cada cual con un procedimiento diferente de resolución. Si avanzamos lo suficiente en nuestra trayectoria escolar, también nos encontramos en algún momento con algo denominado derivada. Si nos lo explicaron como debe ser y/o lo entendimos bien (atención al y/o porque según cada cual puede ser una cosa, la otra, ambas, o ninguna; en matemáticas es muy importante el lenguaje, y saber interpretarlo), el concepto de derivada resuelve dos de los problemas más importantes planteados allá por el siglo XVII: el cálculo de la velocidad instantánea en Física, y el de la pendiente de la recta tangente a una función en un punto en Matemáticas. Dos asuntos aparentemente sin conexión que se resolvieron con el mismo concepto.
En la gráfica, vemos una función f (en negrita), y queremos calcular la pendiente de la recta tangente en el punto a. Si trazamos la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (a + h, f(a + h)), su pendiente viene dado por el cociente
que es la razón entre las imágenes de f (que para el que ya sepa algo de ecuaciones diferenciales responde a la variable dependiente), y sus abscisas (los valores correspondientes en el eje OX, a + h – a = h; la variable independiente). Si hacemos esa h cada vez más pequeña (obsérvese el dibujo), a + h se va aproximando al punto a. Cuando coincidan, es decir cuando h tienda a cero, en vez de una secante, tendremos la recta tangente a f en el punto a. Por esa razón, la pendiente de la recta tangente se va a definir como
y a ese valor le llamamos derivada de f en el punto a. Se denota por f ′(a). Obsérvese que esta idea tan aparentemente sencilla no ha podido ser rigurosamente descrita hasta la correcta definición del concepto de límite, lo cual no sucedió hasta el siglo XVIII. Newton, Leibniz y sus contemporáneos del XVII montaban unas expresiones muy complicadas para expresar esta idea, porque no tenían ese concepto, el de límite, del que nosotros hoy nos valemos, y mucho, para simplificar muchos cálculos.
Si se han fijado, para describir esto de la derivada, hemos utilizado una idea dinámica, con movimiento: hemos dicho que «desplazábamos» las secantes hasta que «llegaran» a la recta tangente. Además, hemos dicho que para los físicos la derivada fue la solución al cálculo de la velocidad instantánea. Es decir, la derivada va asociada a todo proceso dinámico, en evolución, en movimiento. Y a nuestro alrededor estamos rodeados de circunstancias en movimiento. Nuestra propia vida es movimiento: pasado, presente y futuro.
Una ecuación diferencial, como las ecuaciones que conocemos, es una igualdad en la que queremos averiguar algo desconocido. Eso por lo que corresponde al nombre «ecuación». Lo que atañe al apellido «diferencial», involucra a las derivadas. Es decir, una ecuación diferencial ordinaria (abreviadamente EDO), es una ecuación en la que aparecen derivadas de funciones y las variables sobre las que actúan esas funciones. Las primeras son las variables dependientes de la ecuación (porque “dependen” de otras), y las segundas las variables independientes (las situadas en el eje OX, ¿recuerdan?). Resolver una ecuación diferencial es encontrar la expresión de la función que cumple la igualdad. Por ejemplo,
es una EDO, en la que la variable dependiente es la y (porque depende de x), y la variable independiente es la x. Resolver la EDO es encontrar la expresión concreta de la función y.
En este caso, la solución será cualquier función de la forma
porque si calculamos su derivada, obtenemos lo que aparecía en el segundo miembro de la EDO, es decir, 2x + 1. Obsérvese que hay infinitas funciones que cumplen la EDO, tantas como constantes Cte, que es cualquier número real que pongamos (vale cualquier constante porque la derivada de una constante es siempre cero). Igual que hay ecuaciones de primer, segundo, tercer grado, etcétera, las EDOs son del grado que indique la derivada. En el caso anterior era una EDO de primer orden, porque aparece una derivada primera. Si hubiera habido una derivada segunda, sería de segundo orden, y así sucesivamente. Por otro lado, a los matemáticos nos gusta no emborronar las expresiones demasiado, que sean lo más concisas posibles (aun así, seguimos espantando, pero bueno, que sepan que se intenta), por lo que la EDO anterior no se hubiera escrito como ven, sino así: y ′ = 2x + 1
Sabemos que la que lleve la derivada (el apóstrofo, la comita elevada) es la variable dependiente, y la que no tenga la derivada, la independiente, o sea, la x. Por eso, ¿para qué el paréntesis y la x del primer miembro?
Hay muchas expresiones equivalentes para describir la derivada. Por eso tampoco es raro (de hecho, es muy común, sobre todo en Física, en Química y en disciplinas relacionadas con la salud) que la EDO anterior aparezca así:
Se lee “derivada de y respecto a x”. Queda aún más claro cuál es la variable dependiente y cuál la independiente. Y como las EDOs aparecen muchísimas veces en un contexto físico, la variable independiente, en vez de x, suele ser el tiempo, por lo que, en esos casos, se representa como t:
Esta EDO describe entonces la velocidad que lleva un móvil (no de los telefónicos, sino de los que se mueven, un coche, un niño que corre, la mano que te va a dar un sopapo, etc.). De la ecuación se deduce que describe un movimiento uniformemente acelerado (porque la aceleración es constante, es 2, que es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, y correspondería a la derivada segunda
Volvamos al principio. Observen la primera EDO que escribí. Les voy a explicar qué es, como idea final. Vean esta imagen:
Representa el modelo básico para analizar la disminución de la carga viral del VIH (virus de la inmunodeficiencia humana; en efecto, el que desemboca en el SIDA) bajo tratamiento.
Comenzamos considerando un modelo del ciclo de vida del virus. Aunque el VIH infecta diferentes tipos de células, con tasas de replicación variables, existe un consenso en que la mayor parte de la producción de VIH ocurre en las células T CD4 + activadas (son un tipo de células T que juegan un papel muy importante en el sistema inmunitario, en particular en el sistema inmunitario adaptativo). Por tanto, un modelo básico de infección por VIH solo incluye células activadas (T), células infectadas productivamente (T*) y libres de virus (V).
Se supone que las células se activan a una tasa constante λ (lambda), y mueren con una tasa d por celda. En los individuos no infectados, durante la mayor parte del tiempo, hay un nivel constante de estas células, que viene dado por λ/d. Sin embargo, en pacientes infectados, estas células son susceptibles a la infección por VIH en una tasa proporcional al número disponible de células no infectadas y libres de virus, con una tasa constante k. De este modo, las células se infectan a una velocidad kVT, que corresponde a un comportamiento en masa (cuando una gran cantidad de individuos, células en este caso, se comportan todas a la vez como si lo hicieran de forma individual y sin coordinación), común en cinética química. Las células infectadas se crean a este mismo ritmo y mueren a un ritmo δ(delta) por célula, que puede ser diferente de la tasa de mortalidad de las células no infectadas (d), posiblemente mayor. Finalmente, el virus se produce de las células infectadas a una tasa p, y se eliminan de la circulación a una velocidad c. Eso es lo que representa el esquema de la imagen anterior. Pues bien, las ecuaciones correspondientes son:
A los matemáticos, aparte de interpretar el comportamiento anterior llegando a esta modelización en ecuaciones, lo que nos atañe es tratar de resolverlo (no lo he dicho, pero hay muchas, pero muchas EDOs que a día de hoy no se saben resolver de forma exacta), y una vez hecho, transmitir a los expertos el significado de esa solución. En efecto, sólo nos ven haciendo cálculos, pruebas con el ordenador, llenando folios. Pero detrás de eso, puede estar lo que acabo de contar (es un ejemplo de tantos).
Esto lo he sacado de un artículo real, no es un ejemplo ‘bonito’ con los que nos recreamos y lucimos en clase (véase la bibliografía). Con estos análisis, fue posible cuantificar la rapidez de infección y replicación del VIH, la tasa de eliminación del virión (se llama así a la partícula vírica morfológicamente completa e infecciosa), la vida útil de las células infectadas de forma productiva, y predecir el impacto del tratamiento y la aparición de mutaciones resistentes a los fármacos. Además, esos modelos ayudaron a aclarar cuestiones controvertidas relacionadas con el mecanismo de agotamiento de células T en la infección por VIH y motivó nuevos estudios experimentales y clínicos.
Así que, por favor, cuando vean a los matemáticos (a los científicos en general) en su mundo, ensimismados con cientos de folios rellenos de ecuaciones, sepan que andan detrás de cosas como éstas (y si son estudios teóricos, buscando soluciones a problemas que no se conocen y que, sin aplicación inmediata a corto plazo, puede que la tengan en un futuro, como ha sucedió muchas veces a lo largo de la historia), y hagan el favor de ahorrarse el cansino «y esto, ¿para qué sirve?».
Bibliografía: Ribeiro, R. M.; Perelson, A. S. The Analysis of HIV Dynamics Using Mathematical Models, capítulo del volumen AIDS and Other Manifestations of HIV Infection, Elsevier (EE. UU), 2004.
El Laboratorio de Oncología Matemática de la Universidad de Castilla-La Mancha desarrolla una investigación para predecir cómo evolucionan los tumores sólidos de cáncer de mama y de pulmón.
La respuesta a esta pregunta se esconde detrás de un importante estudio realizado por un grupo de investigadores de la Universidad de Castilla-La Mancha (UCLM) con la ayuda de la Asociación Española Contra el Cáncer (AECC). En concreto, este equipo ha desarrollado un modelo matemático para predecir cómo evolucionan los tumores sólidos de cáncer de mama y de pulmón.
El trabajo, publicado en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, muestra cómo investigadores del Laboratorio de Oncología Matemática de la UCLM, a partir del desarrollo de modelos matemáticos, han identificado un nuevo biomarcador de imagen con valor pronóstico en cáncer de mama y de pulmón. El estudio ha sido financiado por la Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha y el Ministerio de Ciencia e Innovación, además de contar con la participación de la AECC en Ciudad Real a través de una ayuda predoctoral para Carmen Ortega, una de las miembros de ese equipo.
El director de la investigación, Víctor Pérez García, explica a ABC que, a partir de imágenes obtenidas de tecnología PET/CT (tomografía de emisión de positrones), los investigadores han podido «estudiar los niveles de actividad metabólica en pacientes con tumores de mama y pulmón; es decir, la actividad que lleva a cabo el tumor para nutrirse, extraer energía y así poder seguir creciendo y extenderse».
Con estas imágenes, indica Pérez García, plantearon un nuevo indicador. Éste permite cuantificar cómo es la evolución en tumores sólidos y se basa en calcular la distancia desde el centro de masas del tumor (centroide) hasta el punto de mayor actividad metabólica (hotspot). Con ello, observaron que «el mayor nivel de actividad metabólica tiende a desplazarse hacia los bordes del tumor a medida que éste crece, por lo que su evolución y los cambios más relevantes que experimenta a nivel metabólico se producen progresivamente en aquellas células que se encuentran en las zonas más externas del mismo».
En opinión del director de este trabajo, «los resultados encontrados con el nuevo biomarcador basado en imagen metabólica no solo indican una mejora en el pronóstico frente a los estándares existentes en la clínica, sino que además ofrecen un avance en el conocimiento en la dinámica del crecimiento de tumores sólidos a nivel espacio-temporal para, de este modo, entender cómo evolucionan».
La investigación se ha desarrollado en los hospitales de Ciudad Real y Albacete, donde gracias a un equipo multidisciplinar, entre los que se encuentran además de Víctor Pérez García y Carmen García, Jesús Boroque, Juan Jiménez, Julián Pérez, David Molina, Ana García, Germán Jiménez, Antonio Honguero y Gabriel Fernández. «Se ha hecho sobre un número considerable de pacientes que ofrece una visión global de lo que puede suponer este trabajo», afirma el director del estudio, que cree que «su aplicación al ámbito médico está a punto de caramelo».
La prueba de acceso a la universidad de 2020 se realizará en Andalucía del 16 al 18 de junio
Para el próximo año se introducen novedades en los horarios de los exámenes, alterándose el orden de las materias, y se ha fijado la convocatoria extraordinaria de septiembre para los días 14, 15 y 16
La Prueba de evaluación de bachillerato para el acceso a la Universidad (PevAU)se llevará a cabo en Andalucía el próximo año 2020 los días 16, 17 y 18 de junio, mientras que para la convocatoria extraordinaria se ha seleccionado del 14 al 16 de septiembre, tal y como ha acordado la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía, que ha adoptado además el compromiso de publicar los resultados los días 25 de junio y 22 de septiembre. Este órgano colegiado, cuya presidencia recae este año en la Universidad de Huelva, es el encargado de la organización de las distintas pruebas de acceso a la universidad, entre las que la PevAU es la más importante por el número de estudiantes a los que afecta. A la del pasado curso 2018/19 se presentaron 43.014 personas en la convocatoria de junio y 7.768 en la de septiembre.
Igualmente, en la reunión celebrada se han fijado las fechas en las que los centros de Educación Secundaria deberán remitir a las universidades los datos del alumnado que se presentará a la prueba, estableciéndose tres fases. La primera contendrá la información relativa al alumnado que está cursando segundo de Bachillerato y se enviará como fecha tope el 27 de marzo de 2020, y la segunda, que se remitirá el 8 de junio, se corresponde con la convocatoria ordinaria y contendrá los resultados de la evaluación de junio de segundo Bachillerato. La tercera, fijada para el 8 de septiembre, incluirá las notas de la evaluación de segundo de Bachillerato de septiembre para la convocatoria extraordinaria.
Novedades de la PevAU
Al igual que el curso anterior, los exámenes se realizarán a partir de las 8.30 de la mañana, pero es necesario que los alumnos estén en las correspondientes dependencias habilitadas por las universidades andaluzas a las 8.00 horas, que será cuando comiencen las citaciones personales.
La prueba constará de una Fase de Acceso, donde se evaluarán las destrezas básicas y con la que se puede alcanzar hasta un máximo de diez puntos (Fase I); y de una fase de Admisión, que tiene carácter optativo y en la que se ofrecerá la posibilidad de subir nota (Fase II). En esta última se medirán conocimientos en disciplinas concretas y puede aportar hasta cuatro puntos adicionales a la anterior, por lo que un alumno puede conseguir hasta un máximo de 14 puntos.
La prueba del próximo año incorpora novedades relativas al horario de los exámenes respecto al curso anterior, alterándose el orden de evaluación de las materias. Durante la primera jornada del día 16 de junio, los estudiantes que se presenten a la Fase I o de Acceso se enfrentarán a tres exámenes comunes. El primero, en horario de 8.30 a 10.00, estará relacionado con la Lengua Castellana y Literatura II; y posteriormente, en la franja de 11.00 a 12.30, los alumnos demostrarán sus conocimientos en Historia de España, finalizando la jornada con un último examen sobre Lengua Extrajera (alemán, francés, inglés, italiano o portugués) para la fase de acceso, entre 13.30 y 15.00.
En la segunda jornada del día 17 de junio, a primera hora –entre 8.30 y 10.00- se someterán a las pruebas sobre Fundamentos del Arte II, Latín II y Matemáticas II. En horario de 11.00 a 12.30 se evaluará el nivel de dominio del alumnado en las materias de Griego II, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, y en la franja de 13.30 a 15.00 se realizarán los exámenes de Física e Historia de la Filosofía.
En el tercer día, el 18 de junio, los estudiantes se examinarán entre 8.30 y 10.00 de la mañana de Dibujo Técnico II, Economía de la Empresa, Cultura Audiovisual II y Biología. De 11.00 a 12.30 será el turno para las pruebas sobre Diseño, Geografía, Lengua Extranjera (fase de admisión) y Química; y entre 13.30 y 15.00 se desarrollarán las pruebas de Artes Escénicas, Geología e Historia del Arte. Todas las materias del segundo y tercer día son de modalidad o troncales de opción.
Para quienes elijan examinarse de dos o más asignaturas programadas en el mismo horario, se ha reservado la tarde del tercer día, desde las 17.00 hasta las 22.30, para que puedan someterse a alguna de las pruebas coincidentes.
Otras pruebas de acceso
Por otro lado, la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía también ha aprobado las fechas para otras vías alternativas de acceso a la universidad como las establecidas para mayores de 25 años y mayores de 45 años, que han de someterse a otros exámenes basados en determinados temarios que recogen los aspectos más importantes de las materias curriculares del Bachillerato.
Para el primer colectivo, los pruebas serán los días 17 y 18 de abril de 2020, mientras que para el segundo, el 17 de abril. Quienes superen la prueba de mayores de 45 años, deberán realizar entrevistas personalizadas, cuyo calendario se publicará a partir del 11 de mayo del próximo año. Las personas interesadas en inscribirse en ambas evaluaciones deberán hacerlo entre el 2 y el 20 de marzo de 2020. El pasado curso 2018/19 se presentaron a la prueba de mayores de 25 años 1.521 personas y a la de mayores de 45 años, 211.
Igualmente, para el procedimiento de valoración de méritos previstos para mayores de 40 años que aleguen experiencia profesional vinculada con los títulos que deseen estudiar y que no cumplan con los requisitos para acceder a la universidad por las otras vías, la Comisión ha fijado un plazo de inscripción entre el 25 de noviembre y el 13 de diciembre. Estas personas recibirán el resultado de su evaluación el 7 de febrero y, en ese momento, se hará público un calendario de entrevistas personalizadas a quienes hayan obtenido una valoración positiva de sus méritos profesionales.
Habitualmente, los problemas interesantes a los que se enfrentan los matemáticos profesionales actualmente suelen ser cuestiones complicadas, tanto en su planteamiento como en su solución. Pero hay muchos problemas que, a pesar de su sencillo planteamiento, han suscitado un gran interés entre muchos miembros de la comunidad matemática a lo largo de la historia. El que nos ocupa hoy es uno de ellos.
Vamos a hablar de cajas. Pero no de cualquier caja, sino de cajas con ciertas propiedades. Buscamos cajas como las que ahora mismo podéis tener en la mente, tipo las cajas de zapatos: cajas en las que las tres parejas de caras opuestas son rectángulos (evidentemente, también nos sirven cuadrados) iguales. Estas cajas se llaman cuboides. Pero vamos a pedirles también que además cumplan que sus aristas tengan longitudes sencillas, ya que no queremos números complicados. Por ello, para nuestras cajas vamos a elegir números enteros para las longitudes de sus aristas.
Como ese tipo de cajas son sencillas de encontrar, vamos a añadirle una condición más: vamos a buscar cajas en las que las diagonales de sus caras también sean números enteros. Si las longitudes de las aristas son números enteros, las longitudes de las diagonales son fácilmente calculables utilizando el teorema de Pitágoras. Vosotros mismos podéis buscar una caja así: elegís tres valores enteros positivos para las aristas y calculáis después los valores de las diagonales para ver si éstas también son enteras positivas.
Si lo hacéis, os daréis cuenta de que la cosa no es tan sencilla como cabía esperar. Lo normal es que, probando de esta forma, no hayáis sido capaces de encontrar ninguna caja con las condiciones que hemos comentado. La pregunta ahora es: ¿existen cajas con estas características?
Y la respuesta a esta pregunta es afirmativa: sí existen cajas en las que tanto las aristas como las diagonales de las caras tienen longitudes positivas. Vamos a llamar cuboides racionales a estas cajas cuyas aristas y diagonales de las caras son números enteros positivos.
Según parece, fue Nicholas Saunderson el primero que publicó algo relacionado con estas cajas sobre 1740, dando una expresión paramétrica para encontrar infinitas de ellas. Saunderson ya conocía en aquella época el siguiente resultado:
“Si tres números enteros positivos (a,b,c) cumplen el teorema de Pitágoras (es decir, cumplen que a2+b2=c2), entonces los números (x,y,z) calculados de esta forma
x=4abc, y=a(4b2-c2), z=b(4a2-c2)
son las aristas de un cuboide racional.”
Es decir, (x,y,z) son las aristas de una caja como las que estamos buscando.
Como hemos dicho, esto aparece en una publicación a nombre de Saunderson sobre 1740, pero actualmente a este tipo de cajas se las conoce como cajas de Euler (en inglés se las suele llamar Euler brick). Es cierto que Euler también las estudió, y que encontró algunas propiedades interesantes sobre ellas, pero fue con posterioridad a Saunderson. Que la historia se las asigne a Euler posiblemente esté provocado por la mayor difusión de los trabajos de éste.
Respecto a los trabajos de Euler sobre este tema, destacan principalmente dos. Primero, sabía que el cuboide de aristas (44,117,240) era el más pequeño posible. Y segundo, que si (x,y,z) son los lados de una caja de Euler, entonces los productos (yz,xz,xy) también son los lados de otra caja de Euler. Estas cajas suelen llamarse cajas de Euler derivadas (o cuboides derivados).
Pero se puede ir aún más lejos. Los cuboides cumplen que sus cuatro diagonales espaciales (las diagonales internas que unen vértices opuestos) son iguales. ¿Por qué no pedir que esa diagonal también tenga longitud entera? Una caja que cumpla también esa condición se llama cuboide perfecto.
Si probáis con la menor caja de Euler, la (44,117,240), veréis que ésta no es un cuboide perfecto. Y también está demostrado que las cajas de Euler (las que comentábamos antes que eran de Saunderson) tampoco son cuboides perfectos. Y, además, también se sabe que las cajas de Euler derivadas tampoco pueden aspirar a ser cuboides perfectos (aquí tenéis una demostración de este resultado dada por John Leech en 1981). Por lo que si buscamos cajas perfectas en este sentido tendremos que orientar la búsqueda de otra forma.
Recapitulando, un cuboide perfecto es un cuboide en el que las longitudes de los lados, las diagonales de sus caras y la diagonal espacial son todas números enteros positivos. Y ahora la pregunta está clara: ¿existen cuboides perfectos? Pues…no se sabe. Hasta ahora, no se ha encontrado ninguna caja perfecta ni tampoco se ha demostrado que no existan.
Se conocen algunos datos sobre ellas, como que si existen se debe cumplir que el lado menor debe medir más de 1010, o algunas relaciones de divisibilidad que deben cumplir algunos lados o diagonales, pero no mucho más.
Aunque hace relativamente poco se avanzó algo en el tema. No se encontró ningún cuboide perfecto, pero sí se han encontrado paralelepípedos perfectos. La diferencia de éstos con los cuboides es que las caras no son todas rectángulos o cuadrados, sino que son otro tipo de cuadriláteros. Ello supone que las dos diagonales de cada cara sean distintas y que las cuatro diagonales espaciales sean también distintas, por lo que en vez de necesitar 7 elementos enteros (los tres lados, las tres diagonales de las caras y la diagonal espacial) necesitamos 13 valores enteros: los tres lados, las seis diagonales de las caras (dos por cara) y las cuatro diagonales espaciales. Bien, pues aunque sean más elementos los que deben ser enteros, para este tipo de cajas se encontraron ejemplos en el año 2010.
En la imagen tenéis uno de ellos. Como se puede ver, las caras a izquierda y derecha son dos rombos de lados 103 y 106 que distan 271 (estos son los tres lados del paralelepípedo) cuyas diagonales miden (101,183); las diagonales del resto de caras son (266,312) y (255,323); y las diagonales espaciales miden (272,278,300,374). Como veis, los 13 valores son enteros positivos.
El hecho de encontrar un paralelepípedo perfecto fue una sorpresa, ya que se creía que no existía ninguno. Pero la sorpresa fue aún mayor cuando se descubrió que éste (que fue el primero que se descubrió) no era el único: se conocen al menos 30 de estos paralelepípedos perfectos. Aquí tenéis información sobre ello, aunque por desgracia el artículo no es de acceso público. Pero para compensar esto, os dejoeste otro artículo con mucha información sobre la búsqueda de los cuboides perfectos.
Como podéis ver, ciertos problemas sencillos de plantear y explicar (hasta un niño podría entender su planteamiento) puede ser de interés para matemáticos y tremendamente difíciles de resolver, y el que nos ha ocupado hoy es un buen ejemplo. Todavía no se han encontrado cuboides perfectos, ni se ha demostrado que no existan, por lo que seguimos, y posiblemente seguiremos durante mucho tiempo, en busca de la caja perfecta.
Creo que habrá poca discusión en el hecho de que la distancia, se entiende que la más corta, entre dos puntos en una superficie plana es la línea recta que une dichos puntos (aunque, recordemos, no sea la más rápida). Por tanto, si queremos calcular la distancia entre dos puntos en una ciudad, simplemente tendremos que medir el segmento de recta que une dichos puntos.
Vale, la Tierra no es plana (de hecho, no se puede representar fielmente en un plano), pero lo que sí es cierto que un “trocito” pequeño (es decir, “localmente”) sí que “se parece” a un plano, por lo que podemos hablar de la línea recta de toda la vida en una ciudad y nos evitamos hablar de geodésicas y demás.
Bueno, seguimos con lo que estábamos. Decíamos que la distancia entre dos puntos en una ciudad sería lo que mida la línea recta que une ambos puntos. Al menos eso dice la teoría, porque en la práctica normalmente no podremos “recorrer” dicha línea recta, a no ser que tengamos la inusual cualidad de atravesar paredes y edificios.
Pongamos un ejemplo. He tomado una imagen de La Carolina (Jaén) sacada de Google Maps y he marcado dos puntos en dos de las calles:
Aunque sobre el papel podríamos unirlos con una línea recta (en rojo en la siguiente imagen), es evidente que en realidad no podríamos recorrer ese camino, por lo que tendríamos que ir recorriendo calles según el propio mapa. En la imagen podéis ver dos de esos caminos posibles (en verde y en azul):
De hecho, esos dos caminos son mínimos, en el sentido de que ambos tienen longitud mínima en esta nueva manera de calcular la distancia. Esta manera de medir distancias se denomina distancia Manhattan, y, de forma más general, nos dice cuál es la distancia entre dos puntos en una cuadrícula de “calles” (líneas rectas) y “edificios” (cuadros rodeados por líneas rectas), tipo ciudad (el nombre de Manhattan es, precisamente, por el diseño en forma de cuadrícula que tienen la mayoría de sus calles).
Matemáticamente, si tomamos dos puntos p y q en una cuadrícula con coordenadas p=(p1,p2) y q=(q1,q2), la distancia Manhattan entre dichos puntos es la suma de los valores absolutos de las diferencias entre las coordenadas. Es decir:
d(p,q)=|q1-p1|+|q2-p2|
En la imagen, podéis ver una cuadrícula en la que tenemos dos puntos unidos con una línea recta (en verde), que corresponde con la distancia habitual (la euclídea), y varias maneras de unir ambos puntos con un camino mínimo siguiendo las calles de la cuadrícula (lo que sería la distancia Manhattan entre ambos puntos). Podéis profundizar sobre este tema, conocido también como geometría taxicab, en este enlace.
Y ahora lo que se estará preguntando más de uno: ¿qué tiene que ver todo esto con un juicio? Vamos con la historia que me ha llevado a escribir este artículo.
Corría el año 2002 cuando James Robbins es detenido precisamente en Manhattan, concretamente en la esquina de la Octava Avenida con la Calle 40, por venta de drogas. Además, su caso tenía como agravante que lo hizo a menos de 1000 pies de un colegio, el Holy Cross, situado en la Calle 43.
En un intento de eliminar dicho agravante, los abogados de Robbins echaron mano de la distancia Manhattan. En la imagen siguiente podéis ver los dos puntos, la esquina en la que detuvieron a Robbins y el colegio, y el camino de mínima distancia según la distancia Manhattan:
Tomar esta distancia como referencia eliminaba el agravante de los 1000 pies, ya que la longitud que separaría en este caso ambos puntos era de 1254 pies: los 764 pies que habría que recorrer de la Octava Avenida antes de girar en ángulo recto y los 490 pies que recorreríamos de la Calle 43 hasta llegar al Holy Cross.
Pero no sirvió. El juez, entiendo yo, consideró que esa distancia máxima era deun radio de 1000 pies, por lo que habría que calcular la longitud que separa ambos puntos en línea recta. ¿Cómo calcular dicha longitud? Pues con los datos anteriores es sencillo hacerlo utilizando el teorema de Pitágoras. Los dos recorridos anteriores serían los catetos de un hipotético triángulo rectángulo, por lo que la línea recta que buscamos sería la hipotenusa de dicho triángulo, como puede verse en la imagen siguiente:
Usando este teorema, tenemos que 7642+4902=823796, cuya raíz cuadrada es 907.63 pies, que corresponde con la distancia en línea recta entre ambos puntos. Como esta longitud es menor que 1000 pies, el agravante de proximidad no se pudo eliminar, y a Robbins le cayeron de 6 a 12 años de cárcel.
Este caso, supongo que por lo curioso del asunto, tuvo cierta relevancia en su momento, llegando a aparecer en el New York Times. Yo no conozco más casos parecidos, en los que las matemáticas sean tan relevantes como para determinar la condena de un acusado, pero igual vosotros tenéis información sobre alguno más. Si es así, podéis utilizar los comentarios para hablarnos de ello.
La tasa de paro sigue asociada en gran medida a la formación. Pero si hablamos de personas con estudios, unos están más valorados a la hora de encontrar empleo que otros. Así se desprende de los datos de las variables de submuestra de la Encuesta de Población Activa (un análisis más detallado de algunas de las variables de la encuesta) publicados este viernes por el INE. Según dichos datos, las personas con formación de matemáticas y estadística fueron en 2015, un año más, los profesionales que soportaron menor tasa de paro en España, apenas el 8,2%. Les siguen aquellos con estudios de derecho, con un 9,58%. Ambos son los dos únicos colectivos, catalogados por el INE según su nivel de formación, con tasas inferiores al 10%. En el reverso de la fotografía, un 28,18% de los que solo cuentan con formación básica está en paro.
Los matemáticos encabezan de nuevo la clasificación de las profesiones con menos paro, pero su situación ha empeorado respecto al año anterior, cuando soportaban una tasa de desempleo de apenas el 5,7%. En cambio, el siguiente colectivo, el de los formados en derecho, mejora ligeramente su situación respecto a 2014, cuando su tasa de paro se situó en el 10,63%. El colectivo que ese año ocupaba la segunda posición, el de los dedicados a los servicios de seguridad, casi duplica su tasa de desempleo en 2015, al pasar del 7,45% en 2014 al 13,74%. El tercer colectivo con perspectivas más halagüeñas es el que agrupa a los profesionales de la salud, con una tasa del 11,39%, un punto menos que los que se dedican a las ciencias de la vida.
De nuevo, el análisis de los datos certifica que las personas con menos formación tienen mayor nivel de desempleo. Así, el colectivo que solo cuenta con programas de formación básica sufre una tasa de paro del 28,18%, algo menor que la registrada en 2014 (30,89%). Le siguen aquellas personas formadas en la protección del medio ambiente (25,58%) y en tareas relacionadas con la construcción, lo que incluye la arquitectura (23,49%).
La comparación de los datos de 2015 con respecto a los de 2014 arroja algunos cambios significativos. Además del ya mencionado cambio entre los formados en servicios de seguridad, destaca el aumento de la tasa de paro de los veterinarios. Si en 2014 este colectivo apenas sufría un 10,65% de paro, en 2015 la tasa ha pasado al 16,95%. Por el contrario, un 16,13% de los formados en ciencias de la vida estaba en paro en 2014, frente a un 12,39% en 2015.
En cuanto a la tasa de empleo (el porcentaje de personas que trabajan según su nivel de formación), los datos del INE muestran una imagen parecida, si bien no un reflejo exacto de la tasa de paro. De nuevo, los formados en matemáticas y estadística tienen una tasa de empleo del 79,67%. es decir, que ocho de cada diez personas en disposición de trabajar lo consigue. Le ssiguen los informáticos (75,88%). Sin embargo, los formados en periodismo e información ocupan el tercer puesto, con un 74,54%, mientras que su tasa de paro (porcentaje de parados sobre la población activa) no está entre las más favorecidas, con un 16,77%. En el lado opuesto vuelven a situarse las personas sin formación: solo un 35,23% del total de este colectivo está trabajando.
Su tasa de actividad, además, es la más baja de entre los colectivos que distingue el INE: solo un 49,06% del total de las personas sin formación tiene trabajo o lo busca. La mayor tasa de actividad se da entre los formados para el periodismo y la información, con un 89,56%, seguidos por los formados en informática (89,44%) y, de nuevo, los matemáticos y estadísticos (86,79%).
¿Estás a punto de acabar el Bachillerato? ¿Sabes que vas a estudiar? ¿Tienes dudas? Aquí os dejo unos enlaces interesantes que te ayudarán a la elección de tu carrera. Espero que os sean de interés y os ayuden.
1.- Te ayudamos a decidir:
Educaweb fue fundada en Barcelona en 1998 por un nutrido grupo de expertos en educación, formación y orientación, con el objetivo de ayudar al alumno a poder decidir por sí mismo y sentar las bases de su autonomía: explorar, conocer y resolver. Para ello, se apoya en su herramienta GR para explorar en qué estudios y profesiones se tiene más potencial, más una detallada guía actualizada con información sobre las opciones y alternativas del sistema educativo español, titulaciones oficiales y los requisitos de cada profesión. De esta manera, más de un millón de jóvenes han pasado por sus test en estos 17 años y han sabido qué estudiar. 2.- Tus posibilidades con un sólo click!
LoQueQuieroEstudiar es un portal web basado en cuidadas entradas semanales y dos motores de búsqueda, uno de grados por profesiones (“sabes en qué te gustaría trabajar y quieres conocer qué grados deberías cursar y en qué universidad para formarte mejor”) y otro de salidas laborales por grados (“sabes qué carrera te gustaría cursar y quieres conocer todas sus salidas laborales para ayudarte a decidir”). Los resultados de la búsqueda proporcionan así una guía cómoda e intuitiva para conocer toda la oferta universitaria (75 universidades españolas, públicas y privadas) y orientar sobre el futuro profesional, complementada con diferentes rankings y notas de corte. Próximamente también dispondrá de los nuevos precios de las matrículas y tasas académicas. Esta iniciativa sita en el Parc Científic Tecnològic i Empresarial de la Universitat Jaume I de Castellón está disponible también a través de iOS y Android. Psicología aplicadaPortal valenciano con diversos recursos, especialmente visuales e infográficos, y que hace un especial hincapié en diversos métodos de estudio y técnicas para reducir la ansiedad ante los exámenes. En pocos minutos podrás hacerte una idea clara de las profesiones relacionadas con los diferentes estudios universitarios, y si aún tienes dudas, te proponen un test para aflorar tu orientación vocacional, una herramienta muy útil para ayudarte a tomar tus propias decisiones.KeKieroestá actualizado a las novedades de la LOMCE. Eso sí, la mayoría de los vídeos hay que comprarlos en formato DVD (entre 60 y 250 euros según el contenido) y los test individuales 3 euros (2,5 euros para grupos).
3.- El mundo laboral de un vistazo! Página oficial del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte que agrupa todo lo referente a la enseñanza de Formación Profesional (en sus modalidades básica y dual): noticias, itinerarios y titulaciones, territorios, fechas de las convocatorias en las distintas Comunidades Autónomas, convalidaciones y equivalencias, búsqueda activa de empleo y consejos para la primera entrevista de trabajo. TodoFPcuenta con recursos e información tanto para personal docente y como para empleadores. También apartados para profesionales con experiencia pero sin titulación, y sobre la competición Spain Skills.
Es lo mismo que poner un motor a una barca.
Hay que medir, pesar, equilibrar ... y poner todo en marcha.
Pero para eso uno tiene que llevar en el alma, un poco de marino, un poco de pirata, un poco de poeta, y un kilo y medio de paciencia concentrada.
Pero es consolador soñar, mientras uno trabaja, que ese barco – ese niño – irá muy lejos por el agua.
Soñar que ese navío llevará nuestra carga de palabras.
Hacia puertos distantes, hasta islas lejanas.
GABRIEL CELAYA
- “Buscando el bien de nuestros semejantes, encontramos el nuestro”
- “La matemática es el trabajo del espíritu humano que ésta destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla”
- “Aprende todo lo necesario para que tu vida sea más feliz”
- “No hay rama de la matemática, por lo abstracta que sea , que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”
- “La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”
- “El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos”
- “Un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuanto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción”
- "La riqueza de un hombre no se encuentra en la cantidad de dinero que posee, sino en la calidad de su conocimiento y educación"
- "Si los hombres han nacido con dos ojos, dos orejas y una sola lengua es porque se debe escuchar y mirar dos veces antes de hablar"
- “El arte es la ciencia de la belleza, las matemáticas son la ciencia de la verdad”
- "Enseñad a los niños y no será necesario castigar a los hombres"
Este blog tiene como objetivo servir de medio para trabajar la asignatura de matematicas de forma virtual, desde casa o desde tu instituto
"El mejor profesor no es el que más sabe ni el que más explica.
El mejor profesor es aquél con el que los alumnos más aprenden.
Se aprende lo que se hace y se recuerda lo que se practica."
/cloudfront-eu-central-1.images.arcpublishing.com/prisa/F7FK62BUZZDS5IHB5ZFKRLYIOQ.jpg)
