En busca de la caja perfecta

Un interesante ejemplo de problema sencillo de plantear y complicado de resolver.

MIGUEL ÁNGEL MORALES – El País

28 SEP 2016 – 13:32 CEST

Habitualmente, los problemas interesantes a los que se enfrentan los matemáticos profesionales actualmente suelen ser cuestiones complicadas, tanto en su planteamiento como en su solución. Pero hay muchos problemas que, a pesar de su sencillo planteamiento, han suscitado un gran interés entre muchos miembros de la comunidad matemática a lo largo de la historia. El que nos ocupa hoy es uno de ellos.

Vamos a hablar de cajas. Pero no de cualquier caja, sino de cajas con ciertas propiedades. Buscamos cajas como las que ahora mismo podéis tener en la mente, tipo las cajas de zapatos: cajas en las que las tres parejas de caras opuestas son rectángulos (evidentemente, también nos sirven cuadrados) iguales. Estas cajas se llaman cuboides. Pero vamos a pedirles también que además cumplan que sus aristas tengan longitudes sencillas, ya que no queremos números complicados. Por ello, para nuestras cajas vamos a elegir números enteros para las longitudes de sus aristas.

Como ese tipo de cajas son sencillas de encontrar, vamos a añadirle una condición más: vamos a buscar cajas en las que las diagonales de sus caras también sean números enteros. Si las longitudes de las aristas son números enteros, las longitudes de las diagonales son fácilmente calculables utilizando el teorema de Pitágoras. Vosotros mismos podéis buscar una caja así: elegís tres valores enteros positivos para las aristas y calculáis después los valores de las diagonales para ver si éstas también son enteras positivas.

Si lo hacéis, os daréis cuenta de que la cosa no es tan sencilla como cabía esperar. Lo normal es que, probando de esta forma, no hayáis sido capaces de encontrar ninguna caja con las condiciones que hemos comentado. La pregunta ahora es: ¿existen cajas con estas características?

Y la respuesta a esta pregunta es afirmativa: sí existen cajas en las que tanto las aristas como las diagonales de las caras tienen longitudes positivas. Vamos a llamar cuboides racionales a estas cajas cuyas aristas y diagonales de las caras son números enteros positivos.

Según parece, fue Nicholas Saunderson el primero que publicó algo relacionado con estas cajas sobre 1740, dando una expresión paramétrica para encontrar infinitas de ellas. Saunderson ya conocía en aquella época el siguiente resultado:

“Si tres números enteros positivos (a,b,c) cumplen el teorema de Pitágoras (es decir, cumplen que a²+b²=c²), entonces los números (x,y,z) calculados de esta forma

x=4abc, y=a(4b²-c²), z=b(4a²-c²)

son las aristas de un cuboide racional.”

Es decir, (x,y,z) son las aristas de una caja como las que estamos buscando.

Como hemos dicho, esto aparece en una publicación a nombre de Saunderson sobre 1740, pero actualmente a este tipo de cajas se las conoce como cajas de Euler (en inglés se las suele llamar Euler brick). Es cierto que Euler también las estudió, y que encontró algunas propiedades interesantes sobre ellas, pero fue con posterioridad a Saunderson. Que la historia se las asigne a Euler posiblemente esté provocado por la mayor difusión de los trabajos de éste.

Respecto a los trabajos de Euler sobre este tema, destacan principalmente dos. Primero, sabía que el cuboide de aristas (44,117,240) era el más pequeño posible. Y segundo, que si (x,y,z) son los lados de una caja de Euler, entonces los productos (yz,xz,xy) también son los lados de otra caja de Euler. Estas cajas suelen llamarse cajas de Euler derivadas (o cuboides derivados).

Pero se puede ir aún más lejos. Los cuboides cumplen que sus cuatro diagonales espaciales (las diagonales internas que unen vértices opuestos) son iguales. ¿Por qué no pedir que esa diagonal también tenga longitud entera? Una caja que cumpla también esa condición se llama cuboide perfecto.

Si probáis con la menor caja de Euler, la (44,117,240), veréis que ésta no es un cuboide perfecto. Y también está demostrado que las cajas de Euler (las que comentábamos antes que eran de Saunderson) tampoco son cuboides perfectos. Y, además, también se sabe que las cajas de Euler derivadas tampoco pueden aspirar a ser cuboides perfectos (aquí tenéis una demostración de este resultado dada por John Leech en 1981). Por lo que si buscamos cajas perfectas en este sentido tendremos que orientar la búsqueda de otra forma.

Recapitulando, un cuboide perfecto es un cuboide en el que las longitudes de los lados, las diagonales de sus caras y la diagonal espacial son todas números enteros positivos. Y ahora la pregunta está clara: ¿existen cuboides perfectos? Pues…no se sabe. Hasta ahora, no se ha encontrado ninguna caja perfecta ni tampoco se ha demostrado que no existan.

Se conocen algunos datos sobre ellas, como que si existen se debe cumplir que el lado menor debe medir más de 10¹⁰, o algunas relaciones de divisibilidad que deben cumplir algunos lados o diagonales, pero no mucho más.

Aunque hace relativamente poco se avanzó algo en el tema. No se encontró ningún cuboide perfecto, pero sí se han encontrado paralelepípedos perfectos. La diferencia de éstos con los cuboides es que las caras no son todas rectángulos o cuadrados, sino que son otro tipo de cuadriláteros. Ello supone que las dos diagonales de cada cara sean distintas y que las cuatro diagonales espaciales sean también distintas, por lo que en vez de necesitar 7 elementos enteros (los tres lados, las tres diagonales de las caras y la diagonal espacial) necesitamos 13 valores enteros: los tres lados, las seis diagonales de las caras (dos por cara) y las cuatro diagonales espaciales. Bien, pues aunque sean más elementos los que deben ser enteros, para este tipo de cajas se encontraron ejemplos en el año 2010.

En la imagen tenéis uno de ellos. Como se puede ver, las caras a izquierda y derecha son dos rombos de lados 103 y 106 que distan 271 (estos son los tres lados del paralelepípedo) cuyas diagonales miden (101,183); las diagonales del resto de caras son (266,312) y (255,323); y las diagonales espaciales miden (272,278,300,374). Como veis, los 13 valores son enteros positivos.

El hecho de encontrar un paralelepípedo perfecto fue una sorpresa, ya que se creía que no existía ninguno. Pero la sorpresa fue aún mayor cuando se descubrió que éste (que fue el primero que se descubrió) no era el único: se conocen al menos 30 de estos paralelepípedos perfectos. Aquí tenéis información sobre ello, aunque por desgracia el artículo no es de acceso público. Pero para compensar esto, os dejoeste otro artículo con mucha información sobre la búsqueda de los cuboides perfectos.

Como podéis ver, ciertos problemas sencillos de plantear y explicar (hasta un niño podría entender su planteamiento) puede ser de interés para matemáticos y tremendamente difíciles de resolver, y el que nos ha ocupado hoy es un buen ejemplo. Todavía no se han encontrado cuboides perfectos, ni se ha demostrado que no existan, por lo que seguimos, y posiblemente seguiremos durante mucho tiempo, en busca de la caja perfecta.

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Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Algo tan sencillo como calcular la distancia entre dos puntos puede ser determinante en un juicio.

MIGUEL ÁNGEL MORALES – El país

19 OCT 2016 – 10:10 CEST

Creo que habrá poca discusión en el hecho de que la distancia, se entiende que la más corta, entre dos puntos en una superficie plana es la línea recta que une dichos puntos (aunque, recordemos, no sea la más rápida). Por tanto, si queremos calcular la distancia entre dos puntos en una ciudad, simplemente tendremos que medir el segmento de recta que une dichos puntos.

Vale, la Tierra no es plana (de hecho, no se puede representar fielmente en un plano), pero lo que sí es cierto que un “trocito” pequeño (es decir, “localmente”) sí que “se parece” a un plano, por lo que podemos hablar de la línea recta de toda la vida en una ciudad y nos evitamos hablar de geodésicas y demás.

Bueno, seguimos con lo que estábamos. Decíamos que la distancia entre dos puntos en una ciudad sería lo que mida la línea recta que une ambos puntos. Al menos eso dice la teoría, porque en la práctica normalmente no podremos “recorrer” dicha línea recta, a no ser que tengamos la inusual cualidad de atravesar paredes y edificios.

Pongamos un ejemplo. He tomado una imagen de La Carolina (Jaén) sacada de Google Maps y he marcado dos puntos en dos de las calles:

Aunque sobre el papel podríamos unirlos con una línea recta (en rojo en la siguiente imagen), es evidente que en realidad no podríamos recorrer ese camino, por lo que tendríamos que ir recorriendo calles según el propio mapa. En la imagen podéis ver dos de esos caminos posibles (en verde y en azul):

De hecho, esos dos caminos son mínimos, en el sentido de que ambos tienen longitud mínima en esta nueva manera de calcular la distancia. Esta manera de medir distancias se denomina distancia Manhattan, y, de forma más general, nos dice cuál es la distancia entre dos puntos en una cuadrícula de “calles” (líneas rectas) y “edificios” (cuadros rodeados por líneas rectas), tipo ciudad (el nombre de Manhattan es, precisamente, por el diseño en forma de cuadrícula que tienen la mayoría de sus calles).

Matemáticamente, si tomamos dos puntos p y q en una cuadrícula con coordenadas p=(p₁,p₂) y q=(q₁,q₂), la distancia Manhattan entre dichos puntos es la suma de los valores absolutos de las diferencias entre las coordenadas. Es decir:

d(p,q)=|q₁-p₁|+|q₂-p₂|

En la imagen, podéis ver una cuadrícula en la que tenemos dos puntos unidos con una línea recta (en verde), que corresponde con la distancia habitual (la euclídea), y varias maneras de unir ambos puntos con un camino mínimo siguiendo las calles de la cuadrícula (lo que sería la distancia Manhattan entre ambos puntos). Podéis profundizar sobre este tema, conocido también como geometría taxicab, en este enlace.

Y ahora lo que se estará preguntando más de uno: ¿qué tiene que ver todo esto con un juicio? Vamos con la historia que me ha llevado a escribir este artículo.

Corría el año 2002 cuando James Robbins es detenido precisamente en Manhattan, concretamente en la esquina de la Octava Avenida con la Calle 40, por venta de drogas. Además, su caso tenía como agravante que lo hizo a menos de 1000 pies de un colegio, el Holy Cross, situado en la Calle 43.

En un intento de eliminar dicho agravante, los abogados de Robbins echaron mano de la distancia Manhattan. En la imagen siguiente podéis ver los dos puntos, la esquina en la que detuvieron a Robbins y el colegio, y el camino de mínima distancia según la distancia Manhattan:

Tomar esta distancia como referencia eliminaba el agravante de los 1000 pies, ya que la longitud que separaría en este caso ambos puntos era de 1254 pies: los 764 pies que habría que recorrer de la Octava Avenida antes de girar en ángulo recto y los 490 pies que recorreríamos de la Calle 43 hasta llegar al Holy Cross.

Pero no sirvió. El juez, entiendo yo, consideró que esa distancia máxima era deun radio de 1000 pies, por lo que habría que calcular la longitud que separa ambos puntos en línea recta. ¿Cómo calcular dicha longitud? Pues con los datos anteriores es sencillo hacerlo utilizando el teorema de Pitágoras. Los dos recorridos anteriores serían los catetos de un hipotético triángulo rectángulo, por lo que la línea recta que buscamos sería la hipotenusa de dicho triángulo, como puede verse en la imagen siguiente:

Usando este teorema, tenemos que 764²+490²=823796, cuya raíz cuadrada es 907.63 pies, que corresponde con la distancia en línea recta entre ambos puntos. Como esta longitud es menor que 1000 pies, el agravante de proximidad no se pudo eliminar, y a Robbins le cayeron de 6 a 12 años de cárcel.

Este caso, supongo que por lo curioso del asunto, tuvo cierta relevancia en su momento, llegando a aparecer en el New York Times. Yo no conozco más casos parecidos, en los que las matemáticas sean tan relevantes como para determinar la condena de un acusado, pero igual vosotros tenéis información sobre alguno más. Si es así, podéis utilizar los comentarios para hablarnos de ello.

¿Con qué estudios se sufre menos el paro? Con matemáticas y derecho

La tasa de paro sigue asociada en gran medida a la formación. Pero si hablamos de personas con estudios, unos están más valorados a la hora de encontrar empleo que otros. Así se desprende de los datos de las variables de submuestra de la Encuesta de Población Activa (un análisis más detallado de algunas de las variables de la encuesta) publicados este viernes por el INE. Según dichos datos, las personas con formación de matemáticas y estadística fueron en 2015, un año más, los profesionales que soportaron menor tasa de paro en España, apenas el 8,2%. Les siguen aquellos con estudios de derecho, con un 9,58%. Ambos son los dos únicos colectivos, catalogados por el INE según su nivel de formación, con tasas inferiores al 10%. En el reverso de la fotografía, un 28,18% de los que solo cuentan con formación básica está en paro.

Los matemáticos encabezan de nuevo la clasificación de las profesiones con menos paro, pero su situación ha empeorado respecto al año anterior, cuando soportaban una tasa de desempleo de apenas el 5,7%. En cambio, el siguiente colectivo, el de los formados en derecho, mejora ligeramente su situación respecto a 2014, cuando su tasa de paro se situó en el 10,63%. El colectivo que ese año ocupaba la segunda posición, el de los dedicados a los servicios de seguridad, casi duplica su tasa de desempleo en 2015, al pasar del 7,45% en 2014 al 13,74%. El tercer colectivo con perspectivas más halagüeñas es el que agrupa a los profesionales de la salud, con una tasa del 11,39%, un punto menos que los que se dedican a las ciencias de la vida.

De nuevo, el análisis de los datos certifica que las personas con menos formación tienen mayor nivel de desempleo. Así, el colectivo que solo cuenta con programas de formación básica sufre una tasa de paro del 28,18%, algo menor que la registrada en 2014 (30,89%). Le siguen aquellas personas formadas en la protección del medio ambiente (25,58%) y en tareas relacionadas con la construcción, lo que incluye la arquitectura (23,49%).

La comparación de los datos de 2015 con respecto a los de 2014 arroja algunos cambios significativos. Además del ya mencionado cambio entre los formados en servicios de seguridad, destaca el aumento de la tasa de paro de los veterinarios. Si en 2014 este colectivo apenas sufría un 10,65% de paro, en 2015 la tasa ha pasado al 16,95%. Por el contrario, un 16,13% de los formados en ciencias de la vida estaba en paro en 2014, frente a un 12,39% en 2015.

En cuanto a la tasa de empleo (el porcentaje de personas que trabajan según su nivel de formación), los datos del INE muestran una imagen parecida, si bien no un reflejo exacto de la tasa de paro. De nuevo, los formados en matemáticas y estadística tienen una tasa de empleo del 79,67%. es decir, que ocho de cada diez personas en disposición de trabajar lo consigue. Le ssiguen los informáticos (75,88%). Sin embargo, los formados en periodismo e información ocupan el tercer puesto, con un 74,54%, mientras que su tasa de paro (porcentaje de parados sobre la población activa) no está entre las más favorecidas, con un 16,77%. En el lado opuesto vuelven a situarse las personas sin formación: solo un 35,23% del total de este colectivo está trabajando.

Su tasa de actividad, además, es la más baja de entre los colectivos que distingue el INE: solo un 49,06% del total de las personas sin formación tiene trabajo o lo busca. La mayor tasa de actividad se da entre los formados para el periodismo y la información, con un 89,56%, seguidos por los formados en informática (89,44%) y, de nuevo, los matemáticos y estadísticos (86,79%).

Noticia extraída de El País 21-05-2016

LAS CARRERAS CON MAYOR TASA DE EMPLEO

FUENTE: EL PAÍS Madrid 29 OCT 2014 – 16:11 CET

PLATAFORMAS PARA ELEGIR CARRERA

¿Estás a punto de acabar el Bachillerato? ¿Sabes que vas a estudiar? ¿Tienes dudas? Aquí os dejo unos enlaces interesantes que te ayudarán a la elección de tu carrera. Espero que os sean de interés y os ayuden.

1.- Te ayudamos a decidir:

Educaweb fue fundada en Barcelona en 1998 por un nutrido grupo de expertos en educación, formación y orientación, con el objetivo de ayudar al alumno a poder decidir por sí mismo y sentar las bases de su autonomía: explorar, conocer y resolver. Para ello, se apoya en su herramienta GR para explorar en qué estudios y profesiones se tiene más potencial, más una detallada guía actualizada con información sobre las opciones y alternativas del sistema educativo español, titulaciones oficiales y los requisitos de cada profesión. De esta manera, más de un millón de jóvenes han pasado por sus test en estos 17 años y han sabido qué estudiar. 2.- Tus posibilidades con un sólo click!

LoQueQuieroEstudiar es un portal web basado en cuidadas entradas semanales y dos motores de búsqueda, uno de grados por profesiones (“sabes en qué te gustaría trabajar y quieres conocer qué grados deberías cursar y en qué universidad para formarte mejor”) y otro de salidas laborales por grados (“sabes qué carrera te gustaría cursar y quieres conocer todas sus salidas laborales para ayudarte a decidir”). Los resultados de la búsqueda proporcionan así una guía cómoda e intuitiva para conocer toda la oferta universitaria (75 universidades españolas, públicas y privadas) y orientar sobre el futuro profesional, complementada con diferentes rankings y notas de corte. Próximamente también dispondrá de los nuevos precios de las matrículas y tasas académicas. Esta iniciativa sita en el Parc Científic Tecnològic i Empresarial de la Universitat Jaume I de Castellón está disponible también a través de iOS y Android. Psicología aplicada Portal valenciano con diversos recursos, especialmente visuales e infográficos, y que hace un especial hincapié en diversos métodos de estudio y técnicas para reducir la ansiedad ante los exámenes. En pocos minutos podrás hacerte una idea clara de las profesiones relacionadas con los diferentes estudios universitarios, y si aún tienes dudas, te proponen un test para aflorar tu orientación vocacional, una herramienta muy útil para ayudarte a tomar tus propias decisiones.KeKiero está actualizado a las novedades de la LOMCE. Eso sí, la mayoría de los vídeos hay que comprarlos en formato DVD (entre 60 y 250 euros según el contenido) y los test individuales 3 euros (2,5 euros para grupos).

3.- El mundo laboral de un vistazo! Página oficial del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte que agrupa todo lo referente a la enseñanza de Formación Profesional (en sus modalidades básica y dual): noticias, itinerarios y titulaciones, territorios, fechas de las convocatorias en las distintas Comunidades Autónomas, convalidaciones y equivalencias, búsqueda activa de empleo y consejos para la primera entrevista de trabajo. TodoFP cuenta con recursos e información tanto para personal docente y como para empleadores. También apartados para profesionales con experiencia pero sin titulación, y sobre la competición Spain Skills.

Espectacular: dibujos en la nieve, por Simon Beck y por Sonja Hinrichsen

El artista inglés Simon Beck  crea gigantescas imágenes en la nieve pisoteando con sus raquetas durante horas sobre lagos congelados.

Por otro lado

El arte de Sonja Hinrichsen evoca una especie de líneas de Nazca efímeramente dibujadas en paisajes nevados. Para realizar estos discos y espirales conectadas como un desordenado collar cósmico o estambres caóticamente estéticos, Sonja simplemente camina con botas de nieve, idealmente por zonas deforestadas o lagos congelados donde los trazos pueden marcarse más fácilmente y las imágenes aéreas pueden lucir sin estorbos visuales. Estos son los lienzos para sus caminatas geométricas.

Las obras de Sonja, quien es ambientalista, tardan horas en realizarse pero pueden durar solamente minutos, dependiendo del clima y otros factores. Y, sin embargo, lo que más le gusta de su arte es que desaparece –que, si bien está hecho de huellas, al final no deja “huella”. Esto en un mundo donde ya hay demasiados objetos procesados. Recientemente ha hecho residencias en distintas partes del mundo, donde ha involucrado a la comunidad en la realización de estas obras en caminatas por la nieve: arte ecológico que une a la gente.

Noticias matemáticas: Una ecuación predice cómo se forman las huellas y arrugas

A medida que una uva se marchita, aparecen arrugas que le hacen tomar la forma de una pasa. Patrones similares se dan en otras superficies, como las huellas dactilares humanas. Aunque estos patrones han sido observados desde hace largo tiempo en la naturaleza, y más recientemente en los experimentos, los científicos no han sido capaces de llegar a una forma de predecir cómo surgen estos patrones en los sistemas curvados. Ahora, un equipo de matemáticos e ingenieros del MIT (Instituto Tecnológico de Massachussetts) ha desarrollado una teoría matemática, confirmada a través de experimentos, que predice cómo toman formas las arrugas en superficies curvas. A partir de sus cálculos, determinaron que un parámetro principal – la curvatura – gobierna el tipo de patrón que se forma: cuanto más curvada es una superficie, más se asemejan sus patrones superficiales a un enrejado de apariencia cristalina.

Los investigadores dicen que la teoría, descrita en Nature Materials, puede ayudar a explicar cómo se forman generalmente las huellas dactilares y las arrugas en la piel humana.

“Si nos fijamos en la piel, hay una capa de tejido más duro, y debajo hay una capa más suave, y se pueden ver estos patrones de arrugas que se convierten en huellas dactilares”, dice Jrn Dunkel, profesor asistente de Matemáticas en el MIT.

Teoría general

El grupo trató de desarrollar una teoría general para describir cómo se forman arrugas en objetos curvos. Teniendo en cuenta experimentos anteriores, Dunkel determinó que existe un marco matemático para describir la formación de arrugas, en la forma de la teoría de la elasticidad – un complejo conjunto de ecuaciones para predecir las formas resultantes en simulaciones por ordenador.

Sin embargo, estas ecuaciones son demasiado complicadas para determinar exactamente cuando ciertos patrones comienzan a transformarse, y mucho menos lo que causa tales cambios en la forma.

Combinando las ideas de la mecánica de fluidos con la teoría de la elasticidad, Dunkel y Stoop derivan una ecuación simplificada que predice con precisión los patrones de arrugas. “¿Qué tipo de estiramiento y flexión se produce, y cómo influye en el sustrato debajo del patrón?; todos estos efectos se combinan en coeficientes por lo que ahora tiene una ecuación analíticamente tratable que predice cómo evolucionan los patrones, dependiendo de las fuerzas que actúan sobre esa superficie “, explica Dunkel.

En las simulaciones por ordenador, los investigadores confirmaron que su ecuación era efectivamente capaz de reproducir correctamente los patrones superficiales observados en los experimentos. Eran, por tanto, capaces de identificar los principales parámetros que rigen el patrón de superficie.

“La Razón”  03 de febrero de 2015. 13:58h Ep.  Madrid.