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En busca de la caja perfecta

Un interesante ejemplo de problema sencillo de plantear y complicado de resolver.

MIGUEL ÁNGEL MORALES – El País

Habitualmente, los problemas interesantes a los que se enfrentan los matemáticos profesionales actualmente suelen ser cuestiones complicadas, tanto en su planteamiento como en su solución. Pero hay muchos problemas que, a pesar de su sencillo planteamiento, han suscitado un gran interés entre muchos miembros de la comunidad matemática a lo largo de la historia. El que nos ocupa hoy es uno de ellos.

Vamos a hablar de cajas. Pero no de cualquier caja, sino de cajas con ciertas propiedades. Buscamos cajas como las que ahora mismo podéis tener en la mente, tipo las cajas de zapatos: cajas en las que las tres parejas de caras opuestas son rectángulos (evidentemente, también nos sirven cuadrados) iguales. Estas cajas se llaman cuboides. Pero vamos a pedirles también que además cumplan que sus aristas tengan longitudes sencillas, ya que no queremos números complicados. Por ello, para nuestras cajas vamos a elegir números enteros para las longitudes de sus aristas.

Como ese tipo de cajas son sencillas de encontrar, vamos a añadirle una condición más: vamos a buscar cajas en las que las diagonales de sus caras también sean números enteros. Si las longitudes de las aristas son números enteros, las longitudes de las diagonales son fácilmente calculables utilizando el teorema de Pitágoras. Vosotros mismos podéis buscar una caja así: elegís tres valores enteros positivos para las aristas y calculáis después los valores de las diagonales para ver si éstas también son enteras positivas.

Si lo hacéis, os daréis cuenta de que la cosa no es tan sencilla como cabía esperar. Lo normal es que, probando de esta forma, no hayáis sido capaces de encontrar ninguna caja con las condiciones que hemos comentado. La pregunta ahora es: ¿existen cajas con estas características?

Y la respuesta a esta pregunta es afirmativa: sí existen cajas en las que tanto las aristas como las diagonales de las caras tienen longitudes positivas. Vamos a llamar cuboides racionales a estas cajas cuyas aristas y diagonales de las caras son números enteros positivos.

Según parece, fue Nicholas Saunderson el primero que publicó algo relacionado con estas cajas sobre 1740, dando una expresión paramétrica para encontrar infinitas de ellas. Saunderson ya conocía en aquella época el siguiente resultado:

“Si tres números enteros positivos (a,b,c) cumplen el teorema de Pitágoras (es decir, cumplen que a2+b2=c2), entonces los números (x,y,z) calculados de esta forma

x=4abc, y=a(4b2-c2), z=b(4a2-c2)

son las aristas de un cuboide racional.”

Es decir, (x,y,z) son las aristas de una caja como las que estamos buscando.

Como hemos dicho, esto aparece en una publicación a nombre de Saunderson sobre 1740, pero actualmente a este tipo de cajas se las conoce como cajas de Euler (en inglés se las suele llamar Euler brick). Es cierto que Euler también las estudió, y que encontró algunas propiedades interesantes sobre ellas, pero fue con posterioridad a Saunderson. Que la historia se las asigne a Euler posiblemente esté provocado por la mayor difusión de los trabajos de éste.

Respecto a los trabajos de Euler sobre este tema, destacan principalmente dos. Primero, sabía que el cuboide de aristas (44,117,240) era el más pequeño posible. Y segundo, que si (x,y,z) son los lados de una caja de Euler, entonces los productos (yz,xz,xy) también son los lados de otra caja de Euler. Estas cajas suelen llamarse cajas de Euler derivadas (o cuboides derivados).

Pero se puede ir aún más lejos. Los cuboides cumplen que sus cuatro diagonales espaciales (las diagonales internas que unen vértices opuestos) son iguales. ¿Por qué no pedir que esa diagonal también tenga longitud entera? Una caja que cumpla también esa condición se llama cuboide perfecto.

Si probáis con la menor caja de Euler, la (44,117,240), veréis que ésta no es un cuboide perfecto. Y también está demostrado que las cajas de Euler (las que comentábamos antes que eran de Saunderson) tampoco son cuboides perfectos. Y, además, también se sabe que las cajas de Euler derivadas tampoco pueden aspirar a ser cuboides perfectos (aquí tenéis una demostración de este resultado dada por John Leech en 1981). Por lo que si buscamos cajas perfectas en este sentido tendremos que orientar la búsqueda de otra forma.

Recapitulando, un cuboide perfecto es un cuboide en el que las longitudes de los lados, las diagonales de sus caras y la diagonal espacial son todas números enteros positivos. Y ahora la pregunta está clara: ¿existen cuboides perfectos? Pues…no se sabe. Hasta ahora, no se ha encontrado ninguna caja perfecta ni tampoco se ha demostrado que no existan.

Se conocen algunos datos sobre ellas, como que si existen se debe cumplir que el lado menor debe medir más de 1010, o algunas relaciones de divisibilidad que deben cumplir algunos lados o diagonales, pero no mucho más.

Aunque hace relativamente poco se avanzó algo en el tema. No se encontró ningún cuboide perfecto, pero sí se han encontrado paralelepípedos perfectos. La diferencia de éstos con los cuboides es que las caras no son todas rectángulos o cuadrados, sino que son otro tipo de cuadriláteros. Ello supone que las dos diagonales de cada cara sean distintas y que las cuatro diagonales espaciales sean también distintas, por lo que en vez de necesitar 7 elementos enteros (los tres lados, las tres diagonales de las caras y la diagonal espacial) necesitamos 13 valores enteros: los tres lados, las seis diagonales de las caras (dos por cara) y las cuatro diagonales espaciales. Bien, pues aunque sean más elementos los que deben ser enteros, para este tipo de cajas se encontraron ejemplos en el año 2010.

Primer paralelepípedo perfecto encontrado

En la imagen tenéis uno de ellos. Como se puede ver, las caras a izquierda y derecha son dos rombos de lados 103 y 106 que distan 271 (estos son los tres lados del paralelepípedo) cuyas diagonales miden (101,183); las diagonales del resto de caras son (266,312) y (255,323); y las diagonales espaciales miden (272,278,300,374). Como veis, los 13 valores son enteros positivos.

El hecho de encontrar un paralelepípedo perfecto fue una sorpresa, ya que se creía que no existía ninguno. Pero la sorpresa fue aún mayor cuando se descubrió que éste (que fue el primero que se descubrió) no era el único: se conocen al menos 30 de estos paralelepípedos perfectos. Aquí tenéis información sobre ello, aunque por desgracia el artículo no es de acceso público. Pero para compensar esto, os dejoeste otro artículo con mucha información sobre la búsqueda de los cuboides perfectos.

Como podéis ver, ciertos problemas sencillos de plantear y explicar (hasta un niño podría entender su planteamiento) puede ser de interés para matemáticos y tremendamente difíciles de resolver, y el que nos ha ocupado hoy es un buen ejemplo. Todavía no se han encontrado cuboides perfectos, ni se ha demostrado que no existan, por lo que seguimos, y posiblemente seguiremos durante mucho tiempo, en busca de la caja perfecta.

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Algo tan sencillo como calcular la distancia entre dos puntos puede ser determinante en un juicio.

Manhattan desde el Empire State Building. Foto de Patrick Theiner (Licencia CC-BY-SA 3.0).

Creo que habrá poca discusión en el hecho de que la distancia, se entiende que la más corta, entre dos puntos en una superficie plana es la línea recta que une dichos puntos (aunque, recordemos, no sea la más rápida). Por tanto, si queremos calcular la distancia entre dos puntos en una ciudad, simplemente tendremos que medir el segmento de recta que une dichos puntos.

Vale, la Tierra no es plana (de hecho, no se puede representar fielmente en un plano), pero lo que sí es cierto que un “trocito” pequeño (es decir, “localmente”) sí que “se parece” a un plano, por lo que podemos hablar de la línea recta de toda la vida en una ciudad y nos evitamos hablar de geodésicas y demás.

Bueno, seguimos con lo que estábamos. Decíamos que la distancia entre dos puntos en una ciudad sería lo que mida la línea recta que une ambos puntos. Al menos eso dice la teoría, porque en la práctica normalmente no podremos “recorrer” dicha línea recta, a no ser que tengamos la inusual cualidad de atravesar paredes y edificios.

Pongamos un ejemplo. He tomado una imagen de La Carolina (Jaén) sacada de Google Maps y he marcado dos puntos en dos de las calles:

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Aunque sobre el papel podríamos unirlos con una línea recta (en rojo en la siguiente imagen), es evidente que en realidad no podríamos recorrer ese camino, por lo que tendríamos que ir recorriendo calles según el propio mapa. En la imagen podéis ver dos de esos caminos posibles (en verde y en azul):

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

De hecho, esos dos caminos son mínimos, en el sentido de que ambos tienen longitud mínima en esta nueva manera de calcular la distancia. Esta manera de medir distancias se denomina distancia Manhattan, y, de forma más general, nos dice cuál es la distancia entre dos puntos en una cuadrícula de “calles” (líneas rectas) y “edificios” (cuadros rodeados por líneas rectas), tipo ciudad (el nombre de Manhattan es, precisamente, por el diseño en forma de cuadrícula que tienen la mayoría de sus calles).

Matemáticamente, si tomamos dos puntos p y q en una cuadrícula con coordenadas p=(p1,p2) y q=(q1,q2), la distancia Manhattan entre dichos puntos es la suma de los valores absolutos de las diferencias entre las coordenadas. Es decir:

d(p,q)=|q1-p1|+|q2-p2|

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

En la imagen, podéis ver una cuadrícula en la que tenemos dos puntos unidos con una línea recta (en verde), que corresponde con la distancia habitual (la euclídea), y varias maneras de unir ambos puntos con un camino mínimo siguiendo las calles de la cuadrícula (lo que sería la distancia Manhattan entre ambos puntos). Podéis profundizar sobre este tema, conocido también como geometría taxicab, en este enlace.

Y ahora lo que se estará preguntando más de uno: ¿qué tiene que ver todo esto con un juicio? Vamos con la historia que me ha llevado a escribir este artículo.

Corría el año 2002 cuando James Robbins es detenido precisamente en Manhattan, concretamente en la esquina de la Octava Avenida con la Calle 40, por venta de drogas. Además, su caso tenía como agravante que lo hizo a menos de 1000 pies de un colegio, el Holy Cross, situado en la Calle 43.

En un intento de eliminar dicho agravante, los abogados de Robbins echaron mano de la distancia Manhattan. En la imagen siguiente podéis ver los dos puntos, la esquina en la que detuvieron a Robbins y el colegio, y el camino de mínima distancia según la distancia Manhattan:

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Tomar esta distancia como referencia eliminaba el agravante de los 1000 pies, ya que la longitud que separaría en este caso ambos puntos era de 1254 pies: los 764 pies que habría que recorrer de la Octava Avenida antes de girar en ángulo recto y los 490 pies que recorreríamos de la Calle 43 hasta llegar al Holy Cross.

Pero no sirvió. El juez, entiendo yo, consideró que esa distancia máxima era deun radio de 1000 pies, por lo que habría que calcular la longitud que separa ambos puntos en línea recta. ¿Cómo calcular dicha longitud? Pues con los datos anteriores es sencillo hacerlo utilizando el teorema de Pitágoras. Los dos recorridos anteriores serían los catetos de un hipotético triángulo rectángulo, por lo que la línea recta que buscamos sería la hipotenusa de dicho triángulo, como puede verse en la imagen siguiente:

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Usando este teorema, tenemos que 7642+4902=823796, cuya raíz cuadrada es 907.63 pies, que corresponde con la distancia en línea recta entre ambos puntos. Como esta longitud es menor que 1000 pies, el agravante de proximidad no se pudo eliminar, y a Robbins le cayeron de 6 a 12 años de cárcel.

Este caso, supongo que por lo curioso del asunto, tuvo cierta relevancia en su momento, llegando a aparecer en el New York Times. Yo no conozco más casos parecidos, en los que las matemáticas sean tan relevantes como para determinar la condena de un acusado, pero igual vosotros tenéis información sobre alguno más. Si es así, podéis utilizar los comentarios para hablarnos de ello.

¿Con qué estudios se sufre menos el paro? Con matemáticas y derecho

La tasa de paro sigue asociada en gran medida a la formación. Pero si hablamos de personas con estudios, unos están más valorados a la hora de encontrar empleo que otros. Así se desprende de los datos de las variables de submuestra de la Encuesta de Población Activa (un análisis más detallado de algunas de las variables de la encuesta) publicados este viernes por el INE. Según dichos datos, las personas con formación de matemáticas y estadística fueron en 2015, un año más, los profesionales que soportaron menor tasa de paro en España, apenas el 8,2%. Les siguen aquellos con estudios de derecho, con un 9,58%. Ambos son los dos únicos colectivos, catalogados por el INE según su nivel de formación, con tasas inferiores al 10%. En el reverso de la fotografía, un 28,18% de los que solo cuentan con formación básica está en paro.

Los matemáticos encabezan de nuevo la clasificación de las profesiones con menos paro, pero su situación ha empeorado respecto al año anterior, cuando soportaban una tasa de desempleo de apenas el 5,7%. En cambio, el siguiente colectivo, el de los formados en derecho, mejora ligeramente su situación respecto a 2014, cuando su tasa de paro se situó en el 10,63%. El colectivo que ese año ocupaba la segunda posición, el de los dedicados a los servicios de seguridad, casi duplica su tasa de desempleo en 2015, al pasar del 7,45% en 2014 al 13,74%. El tercer colectivo con perspectivas más halagüeñas es el que agrupa a los profesionales de la salud, con una tasa del 11,39%, un punto menos que los que se dedican a las ciencias de la vida.

De nuevo, el análisis de los datos certifica que las personas con menos formación tienen mayor nivel de desempleo. Así, el colectivo que solo cuenta con programas de formación básica sufre una tasa de paro del 28,18%, algo menor que la registrada en 2014 (30,89%). Le siguen aquellas personas formadas en la protección del medio ambiente (25,58%) y en tareas relacionadas con la construcción, lo que incluye la arquitectura (23,49%).

La comparación de los datos de 2015 con respecto a los de 2014 arroja algunos cambios significativos. Además del ya mencionado cambio entre los formados en servicios de seguridad, destaca el aumento de la tasa de paro de los veterinarios. Si en 2014 este colectivo apenas sufría un 10,65% de paro, en 2015 la tasa ha pasado al 16,95%. Por el contrario, un 16,13% de los formados en ciencias de la vida estaba en paro en 2014, frente a un 12,39% en 2015.

En cuanto a la tasa de empleo (el porcentaje de personas que trabajan según su nivel de formación), los datos del INE muestran una imagen parecida, si bien no un reflejo exacto de la tasa de paro. De nuevo, los formados en matemáticas y estadística tienen una tasa de empleo del 79,67%. es decir, que ocho de cada diez personas en disposición de trabajar lo consigue. Le ssiguen los informáticos (75,88%). Sin embargo, los formados en periodismo e información ocupan el tercer puesto, con un 74,54%, mientras que su tasa de paro (porcentaje de parados sobre la población activa) no está entre las más favorecidas, con un 16,77%. En el lado opuesto vuelven a situarse las personas sin formación: solo un 35,23% del total de este colectivo está trabajando.

Su tasa de actividad, además, es la más baja de entre los colectivos que distingue el INE: solo un 49,06% del total de las personas sin formación tiene trabajo o lo busca. La mayor tasa de actividad se da entre los formados para el periodismo y la información, con un 89,56%, seguidos por los formados en informática (89,44%) y, de nuevo, los matemáticos y estadísticos (86,79%).

Noticia extraída de El País 21-05-2016

Noticias matemáticas: “La fórmula para ser un crack de las matemáticas”

Vídeorreportaje: Mario Viciosa. Producción: V. Gijón | Foto: Peter M. Fisher

Galileo decía que las matemáticas eran el lenguaje con el que Dios había escrito el Universo. Con esta reflexión, el astrónomo italiano ilustraba cómo las matemáticas están presentes en todo lo que nos rodea. Pese a ello, existe entre muchos ciudadanos una aversión hacia este materia, que muchos alumnos encuentran aburrida o muy difícil.

Los expertos en educación coinciden en subrayar que son una asignatura básica para el desarrollo intelectual, pues ayudan a los niños a razonar de forma lógica y ordenada y a preparar su mente para la crítica y la abstracción. En resumen, les enseña a pensar. Pese a su importancia, los alumnos españoles no salen bien parados en estudios internacionales como Pisa y Pirls-Timss, que miden las competencias tanto en esta materia como en lectura y ciencias. Las matemáticas también son una pesadilla para algunos aspirantes a convertirse en profesor, como muestra el pequeño porcentaje de candidatos que resolvió correctamente las cuestiones matemáticas planteadas en el último examen para opositar a maestro en Madrid.

¿Reflejan estos informes la realidad de las aulas españolas? ¿Por qué tantos alumnos perciben las matemáticas como aburridas y difíciles? Desde España a Singapur, una generación de entusiastas profesores se ha empeñado en acabar con la mala fama de esta asignatura. Aseguran que la clave para triunfar es aprenderlas bien desde el inicio. Para lograrlo hay que aprovechar desde los paseos por el parque hasta las tabletas y otros dispositivos electrónicos que pemiten acceder a entretenidas clases y ofrecen material de refuerzo para trabajar en casa. Eso sí, todos coinciden en que el esfuerzo y la constancia son imprescindibles.

“Creo que los padres deberían tener clara la importancia de que sus hijos adquieran una buena formación matemática. Socialmente se disculpa que a alguien no se le den bien. Es indudable que un conocimiento profundo de las matemáticas requiere capacidad de abstracción y hay que familiarizarse con el lenguaje formal pero, en buena parte debido a enfoques educativos equivocados, no siempre se ha conseguido mostrar a los estudiantes unas matemáticas creativas y no rutinarias, cercanas a la realidad de la vida cotidiana y en los niveles básicos, accesibles para todos”, reflexiona Raquel Mallavibarrena, presidenta de la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y profesora de Álgebra y Geometría en la Universidad Complutense de Madrid (UCM).

Aunque destaca “los esfuerzos innovadores de muchos docentes en todos los niveles educativos”, Mallavibarrena admite que “aún hay en nuestras aulas mucha práctica docente basada en procedimientos mecánicos y rutinarios que los estudiantes aplican, pero que no siempre entienden”. En su opinión, hay que mejorar la formación matemática que reciben los propios profesores de Primaria.

Resolución de problemas

“He dado clases en Singapur, Indonesia, Filipinas, Tailandia, Chile, Japón, Corea del Sur, Holanda, Reino Unido y EEUU. Y he comprobado cómo niños de todo el mundo disfrutan aprendiendo matemáticas”, asegura el profesor Yeap Ban Har, cuyo método de enseñanza (perfeccionado a lo largo de sus 25 años de carrera) ha conquistado a miles de alumnos y profesores. Ban Har nació en Singapur, el país que presume de obtener los mejores resultados en matemáticas en los informes internacionales.

Una niña de Mongolia haciendo ejercicios de Salman Khan.

Una niña de Mongolia haciendo ejercicios de Salman Khan.

“Mi método se centra en resolver problemas y en facilitar a los estudiantes experiencias concretas y representaciones visuales. No se trata de memorizar o realizar cálculos tediosos sin entenderlos”, afirma Ban Har, que desde 2010 dirige el Instituto Marshall Cavendish de Singapur, dedicado a la formación profesional de profesores. Y es que su principal misión durante los últimos años, asegura, ha sido enseñar a enseñar matemáticas: «Nuestro método se basa en teorías de enseñanza y en el desarrollo de los profesores, que cuentan con un fuerte respaldo por parte de los directores de sus centros», afirma.

Por lo que respecta al papel de los padres, considera que“aprender junto a los niños es más fructífero que intentar enseñarles”. No obstante, “si les ayudan en casa, deberían centrarse en la resolución de problemas y en dar sentido al aprendizaje”, recomienda.

Otro profesor que ha conseguido adeptos en todo el mundo es Salman Khan, un ingeniero estadounidense (de madre india y padre bengalí) de 36 años que ofrece gratis a través de su academia virtual miles de clases y ejercicios en varios idiomas, incluido el castellano. Khan, graduado en el MIT y en la Universidad de Harvard, le cogió el gusto a la enseñanza mientras ayudaba a su prima con los deberes de matemáticas. Cuando otros familiares acudieron a él, decidió compartir las clases por internet. Así surgió en 2008 la Academia Khan, que ha crecido de manera imparable gracias, en parte, a la financiación de magnates como Bill Gates. El objetivo es que cualquiera tenga acceso permanente a estas clases. “Enseño como me hubiera gustado que me enseñaran”, afirma Khan, cuyas lecciones han tenido más de 200 millones de descargas.

Comprensión, práctica y motivación

Antes que Khan, el valenciano Juan Medina puso en marcha su propia academia virtual, lasmatematicas.es, un portal para “aprender desde la suma de fracciones a la resolución de ecuaciones diferenciales”.

Junto a su colega Fernando Blasco, profesor de la UPM, ha publicado ‘Tu hijo puede ser un genio de las mates’ (Editorial Temas de Hoy), un manual para que los padres (incluso aquellos que se consideran de letras o disponen de poco tiempo) inculquen a sus hijos el gusto por las matemáticas y les ayuden con el cálculo o la aritmética de forma divertida, aprovechando los viajes en coche o la visita al supermercado. Para ser un gran matemático, sostienen, no hace falta memorizar casi nada.¿Fórmulas? “Las justas”. La suya se resume en tres palabras: comprensión, práctica y motivación.

Los profesores Juan Medina (i) y Fernando Blasco. | Sergio EnríquezLos profesores Juan Medina (i) y Fernando Blasco. | Sergio Enríquez

Blasco admite que muchos estudiantes llegan a las facultades de ingeniería con importantes lagunas en matemáticas, una de las asignaturas que más se suspende. “Es fundamental que entiendan absolutamente todo, pues algunos niños van pasando de curso sin entender lo que hacen. Si avanza poco a poco, pe ro de forma constante, llegará a dominar la materia”, asegura Blasco, que realiza espectáculos de magia e ilusionismo basados en matemáticas.

“El niño es una esponja y el objetivo es que pierdan el miedo a las matemáticas desde pequeño”, añade Medina, profesor en la Universidad Politécnica de Cartagena. “También hay que perder el miedo a equivocarse, porque de los errores se aprende, y que asuman que unas veces se gana y otras se pierde”, apunta. La recompensa será el desarrollo de otras competencias, pues “el razonamiento lógico y el rigor matemático ayudan, por ejemplo, a expresarse de forma clara y ordenada y a redactar mejor, de la misma forma que para entender un problema es fundamental leer bien”, añade.

Concentración diaria en casa

Smartick.esSmartick.es

Ofrecer al alumno contenidos adaptados a su nivel es uno de los puntos fuertes de Smartick.es, un método de enseñanza on line desarrollado por los españoles Daniel González de Vega y Javier Arroyo. Según aseguran, con 15 minutos diarios de trabajo de lunes a domingo se incrementa la agilidad mental, la capacidad de cálculo y se fortalece el hábito de estudio de los niños de Primaria. “Cuando no pueden seguir las clases en el colegio, su autoestima cae. Si sometes al niño a una dosis de frustración diaria terminará por decir que no le gustan las matemáticas”, afirma Daniel González, cuyo método ha sido probado ya por un millar de alumnos.

“Smartick no es un juego, son ejercicios de matemáticas. Pero son dinámicos, intuitivos y atractivos. Es útil tanto para el niño que va mal en clase, que ve rápidamente cómo mejora y entiende aspectos que no comprendía, como para el que destaca en la materia y puede así progresar a su ritmo”, añade el ingeniero.

Otra forma de fomentar el interés por esta asignatura es apuntar a los niños a competiciones y olimpiadas matemáticas en las que puedan medir sus conocimientos y divertirse. El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) del CSIC organiza actividades para los más jóvenes, desde conferencias a concursos de grafiti:“Es una asignatura que requiere un estudio continuado. Todo depende de la base”, resume Manuel de León, director de este centro y miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional.

“La educación es un problema social y son muchos los agentes que deben tomar partido. Los modelos que tienen los chicos hoy en día no contribuyen al esfuerzo. Son futbolistas, cantantes o concursantes de Gran Hermano, que no son el mejor estímulo para estudiar. Hay que buscar modelos a seguir que hayan trabajado intelectualmente”, reflexiona. “Tenemos que estimular el interés por aprender y lograr que, como ocurre en países como Finlandia, los profesores tengan la formación adecuada y el reconocimiento de toda la sociedad”, concluye.

DIEZ CLAVES PARA PROGRESAR EN CASA

1. El papel de los padres es clave para motivar a sus hijos (es muy importante que no les transmitan su miedo o rechazo a la asignatura).

2. Los niños tienen que aprender a concentrarse.

3. Trabajar a diario en casa.

4. Hay que entender absolutamente todo y habituarse a preguntar lo que no comprendan.

5. Perder el miedo a equivocarse (de los errores se aprende).

6. Fomentar que lean (imprescindible para entender los problemas).

7. Aprovechar cualquier ocasión para desarrollar sus habilidades matemáticas, proponiéndoles juegos y problemas.

8. El ajedrez o los juegos de cartas son útiles, pero no hay que dejarles ganar.

9. Los museos de ciencia e instituciones matemáticas organizan concursos y actividades para motivarles.

10. En casa pueden usar métodos de refuerzo y material de las academias virtuales.

SMARTICK.ES

Inspirado parcialmente en el método japonés Kumon, este sistema on line diseñado por españoles ofrece un programa personalizado de ejercicios para que cada niño (de 4 a 12 años) progrese a su ritmo. Hay que trabajar de forma concentrada 15-20 minutos al día. El precio oscila entre los 25 y 39 euros/mes por alumno. Los padres controlan el avance y reciben un e-mail diario.

LASMATEMATICAS.ES Esta academia de matemáticas virtual gratuita fue fundada por el profesor valenciano Juan Medina. Ofrece contenidos dirigidos a diferentes edades. Junto con Fernando Blasco ha publicado el libro ‘Tu hijo puede ser un genio de las mates’ (Editorial Temas de Hoy), un manual para que los padres inculquen a sus hijos el gusto por las matemáticas y les ayuden con el cálculo o la aritmética de forma divertida durante las actividades cotidianas.

KHANACADEMY.ORG Otra academia virtual grauita, fundada en 2008 por el ingeniero estadounidense Salman Khan. Contiene miles de clases y ejercicios de matemáticas en varios idiomas, incluido el castellano, para aprender y asentar conceptos. También ofrecen herramientas para organizar un plan de estudio. Además de matemáticas, el portal tiene clases de muchas otras materias como biología, química, cosmología, astronomía, economía historia, arte, dibujo o programación.

Artículo extraído íntegramente de la web del mundo.es

Los 4 cuatros

Blog Ecléctico de Antolo Mágico

Un libro del que ya he hablado en este blog y que considero bastante educativo es “El hombre que calculaba”. En sus páginas ofrece una gran variedad de acertijos y juegos de índole matemática, introducidos y narrados al estilo de un cuento árabe, lo que le convierte en un libro muy entretenido.

Uno de los acertijos que me llamó la atención durante una de sus lecturas (lo he utilizado a veces en clase con el alumnado), es el caso de los cuatro cuatros. Se plantea la obtención de cualquier número natural utilizando 4 cuatros en la manera que sea conveniente (colocación y operaciones). Lo cierto es que se pueden conseguir bastantes números usando 4 cuatros pero, ¿se podrá obtener cualquiera de ellos?

La historia está narrada de la siguiente manera:

“Beremiz se sintió atraído por un elegante y delicado turbante azul claro que ofrecía un sirio medio corcovado por 4…

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ACTUALIZACIÓN DE DATOS

He actualizado todos los datos referentes a la selectividad 2013-14. Si quieres saber mas pulsa aquí

2º ENTREGA DE “MAS POR MENOS”

CAPITULO 2: La aventura del saber. Serie Más por menos: Movimientos en el plano.

La aventura del saber. Serie Más por menos: Movimientos en el plano

Desde la aparición del ser humano sobre la faz del planeta todas las culturas han utilizado figuras geométricas como elementos ornamentales, no sólo en sus manifestaciones arquitectónicas y artísticas, sino también en sus útiles domésticos. Este capítulo nos muestra, entre otros temas, los movimientos de las figuras geométricas: Traslación, giro y simetría.

Conoceremos qué tipos de movimientos podemos realizar en el plano sin que se deformen los objetos. Buscaremos estos movimientos en el arte y en situaciones reales.
Aplicaremos estos conceptos en la construcción de frisos, los cuales decoran nuestras paredes. Y mosaicos, como los suelos que pisamos

“Hoy en día, si salimos a la calle la presencia de la geometría es tan familiar que hasta pasa desapercibida.”
Antonio Pérez.

CURSO RECOMENDADO: 3º – 4º E.S.O.
DURACIÓN: 12 min y 42 seg
TIEMPO INVERTIDO: 1 clase de unos 50 min
BLOQUE TRABAJADO: Geometría. Movimientos en el plano

Parte 1. Desde el comienzo hasta 4 min y 40 seg.
o Definiciones de:
–   Traslación.
–  Giro.
–  Simetría.
• Parte 2. Desde 4 min y 40 seg hasta 8 min y 00 seg.
o Figuras invariantes.
o Frisos
• Parte 3. Desde 8 min y 00 seg hasta el final.
o Mosaicos regulares.
o Mosaicos semirregulares.

FICHA DE TRABAJO EN PDF:  Movimentos en el plano