U9 – ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

En este espacio proponemos un buen número de enlaces con actividades y materiales interactivos que nos permirán REFORZAR  y AMPLIAR nuestro conocimiento sobre las matemáticas de 1º ESO:

  • UNIDAD 9: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Actividades para descargar:      Refuerzo         Ampliación

Actividades Interactivas: Sigue las indicaciones en cada una de las actividades:

FRECUENCIAS PARA VARIABLE DISCRETA

Actividades evaluables:

1º ESO A:

  1. Actividad – Frecuencias – FDFC5387 (30 min)  – Caduca el 5 de Junio
  2. Actividad – Frecuencias, media y moda – KMKD8060 (60 min)  – Caduca el 5 de Junio
  3. Actividad – Azar y probabilidad – SRHD5526 (60 min)  – Caduca el 6 de Junio

1º ESO B:

  1. Actividad – Tablas y gráficas – XBMV2618 (30 min)  – Caduca el 5 de Junio
  2. Actividad – Frecuencias, media y moda – PJWW1621 (60 min)  – Caduca el 5 de Junio
  3. Actividad – Azar y probabilidda –  YVAG0649 (60 min)  – Caduca el 5 de Junio

Enlaces de interés para repasar esta unidad:

Contenido teórico:

1.- Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

  1. Recogida de datos.
  2. Organización y representación de datos.
  3. Análisis de datos.
  4. Obtención de conclusiones.

2.- Conceptos básicos de Estadística

  • Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.
  • Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.
  • Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.
  • El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.
  • Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.
  • Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

3.-Variables aleatorias y sus tipos

Definición:

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de variable estadísticas

A. – Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

  1. Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo: El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

  2. Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Por ejemplo:

    1. La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

    2. Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, …

    3. Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

B.- Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

  1. Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

  2. Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. (En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales).

4.- Tablas de estadísticas de frecuencias

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencias:

  • Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fi.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

igualdad

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

igualdad

  • Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

frecuencia relativa

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

  • Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

  • Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

Para aclarar esto, veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo:

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Hemos de tener en cuenta algunas cuestiones y conceptos:

  • Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.
  • La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.
  • La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

¿como se construye una tabla de datos agrupados?

Vamos a verlo con este ejemplo: Supongamos los siguientes datos:

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.

2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer.

Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.

En este caso, 48 – 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

5.- Diagrama de barras y polígonos de frecuencias

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Ejemplo:

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Polígonos de frecuencia

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Ejemplo:

Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

6.- Diagrama de sectores

 Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

ángulo

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Ejemplo:

En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

ángulos

7.- Parámetros estadísticos

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

Hay tres tipos de parámetros estadísticos:

  • De centralización.
  • De posición
  • De dispersión.

Parámetros de centralización:

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. La medidas de centralización son:

  • Media aritmética: La media es el valor promedio de la distribución.
  • Mediana: La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.
  • Moda: La moda es el valor que más se repite en una distribución.

parametros de posición:

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

La medidas de posición son:

  • Cuartiles: Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.
  • Deciles: Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.
  • Percentiles: Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

Parámetros de dispersión:

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

  • Rango o recorrido:El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
  • Desviación media: La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
  • Varianza: La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.
  • Desviación típica: La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

8.- Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

símbolo de la media aritmética es el símbolo de la media aritmética.

fórmula de la media

media

Ejemplo:

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

media aritmética

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

media

media

Ejercicio de media aritmética con datos agrupados:

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

media

9.- Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Como hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9      Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8   Mo = 4

10.- Definición de probabilidad

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. Existen dos tipos de experimentos:

  • Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Ejemplo

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

  • Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

11.- Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

  • Suceso: Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
  1. Al lanzar una moneda salga cara.
  2. Al lanzar una dado se obtenga 4.
  • Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
  1. Espacio muestral de una moneda:            E = {C, X}.
  2. Espacio muestral de un dado:                    E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Ejemplo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

12.- Tipos de sucesos

  •  Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

  • Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

  • Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

  • Suceso imposible, Conjunto vacio, es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

13.- Regla de Laplace

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

Laplace

Ejemplos

1.- Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.

Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.

Casos favorables: 1.

cartas

2.- En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).

Casos posibles: 40.

Casos favorables de ases: 4.

cartas

Casos favorables de copas: 10.

cartas

3.- Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

A) Un número par.

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Casos favorables: {2, 4, 6}.

solución

B) Un múltiplo de tres.

Casos favorables: {3, 6}.

solución

C) Mayor que 4.

Casos favorables: {5, 6}.

solución

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