Archivo mensual: octubre 2016

En busca de la caja perfecta

Un interesante ejemplo de problema sencillo de plantear y complicado de resolver.

MIGUEL ÁNGEL MORALES – El País

Habitualmente, los problemas interesantes a los que se enfrentan los matemáticos profesionales actualmente suelen ser cuestiones complicadas, tanto en su planteamiento como en su solución. Pero hay muchos problemas que, a pesar de su sencillo planteamiento, han suscitado un gran interés entre muchos miembros de la comunidad matemática a lo largo de la historia. El que nos ocupa hoy es uno de ellos.

Vamos a hablar de cajas. Pero no de cualquier caja, sino de cajas con ciertas propiedades. Buscamos cajas como las que ahora mismo podéis tener en la mente, tipo las cajas de zapatos: cajas en las que las tres parejas de caras opuestas son rectángulos (evidentemente, también nos sirven cuadrados) iguales. Estas cajas se llaman cuboides. Pero vamos a pedirles también que además cumplan que sus aristas tengan longitudes sencillas, ya que no queremos números complicados. Por ello, para nuestras cajas vamos a elegir números enteros para las longitudes de sus aristas.

Como ese tipo de cajas son sencillas de encontrar, vamos a añadirle una condición más: vamos a buscar cajas en las que las diagonales de sus caras también sean números enteros. Si las longitudes de las aristas son números enteros, las longitudes de las diagonales son fácilmente calculables utilizando el teorema de Pitágoras. Vosotros mismos podéis buscar una caja así: elegís tres valores enteros positivos para las aristas y calculáis después los valores de las diagonales para ver si éstas también son enteras positivas.

Si lo hacéis, os daréis cuenta de que la cosa no es tan sencilla como cabía esperar. Lo normal es que, probando de esta forma, no hayáis sido capaces de encontrar ninguna caja con las condiciones que hemos comentado. La pregunta ahora es: ¿existen cajas con estas características?

Y la respuesta a esta pregunta es afirmativa: sí existen cajas en las que tanto las aristas como las diagonales de las caras tienen longitudes positivas. Vamos a llamar cuboides racionales a estas cajas cuyas aristas y diagonales de las caras son números enteros positivos.

Según parece, fue Nicholas Saunderson el primero que publicó algo relacionado con estas cajas sobre 1740, dando una expresión paramétrica para encontrar infinitas de ellas. Saunderson ya conocía en aquella época el siguiente resultado:

“Si tres números enteros positivos (a,b,c) cumplen el teorema de Pitágoras (es decir, cumplen que a2+b2=c2), entonces los números (x,y,z) calculados de esta forma

x=4abc, y=a(4b2-c2), z=b(4a2-c2)

son las aristas de un cuboide racional.”

Es decir, (x,y,z) son las aristas de una caja como las que estamos buscando.

Como hemos dicho, esto aparece en una publicación a nombre de Saunderson sobre 1740, pero actualmente a este tipo de cajas se las conoce como cajas de Euler (en inglés se las suele llamar Euler brick). Es cierto que Euler también las estudió, y que encontró algunas propiedades interesantes sobre ellas, pero fue con posterioridad a Saunderson. Que la historia se las asigne a Euler posiblemente esté provocado por la mayor difusión de los trabajos de éste.

Respecto a los trabajos de Euler sobre este tema, destacan principalmente dos. Primero, sabía que el cuboide de aristas (44,117,240) era el más pequeño posible. Y segundo, que si (x,y,z) son los lados de una caja de Euler, entonces los productos (yz,xz,xy) también son los lados de otra caja de Euler. Estas cajas suelen llamarse cajas de Euler derivadas (o cuboides derivados).

Pero se puede ir aún más lejos. Los cuboides cumplen que sus cuatro diagonales espaciales (las diagonales internas que unen vértices opuestos) son iguales. ¿Por qué no pedir que esa diagonal también tenga longitud entera? Una caja que cumpla también esa condición se llama cuboide perfecto.

Si probáis con la menor caja de Euler, la (44,117,240), veréis que ésta no es un cuboide perfecto. Y también está demostrado que las cajas de Euler (las que comentábamos antes que eran de Saunderson) tampoco son cuboides perfectos. Y, además, también se sabe que las cajas de Euler derivadas tampoco pueden aspirar a ser cuboides perfectos (aquí tenéis una demostración de este resultado dada por John Leech en 1981). Por lo que si buscamos cajas perfectas en este sentido tendremos que orientar la búsqueda de otra forma.

Recapitulando, un cuboide perfecto es un cuboide en el que las longitudes de los lados, las diagonales de sus caras y la diagonal espacial son todas números enteros positivos. Y ahora la pregunta está clara: ¿existen cuboides perfectos? Pues…no se sabe. Hasta ahora, no se ha encontrado ninguna caja perfecta ni tampoco se ha demostrado que no existan.

Se conocen algunos datos sobre ellas, como que si existen se debe cumplir que el lado menor debe medir más de 1010, o algunas relaciones de divisibilidad que deben cumplir algunos lados o diagonales, pero no mucho más.

Aunque hace relativamente poco se avanzó algo en el tema. No se encontró ningún cuboide perfecto, pero sí se han encontrado paralelepípedos perfectos. La diferencia de éstos con los cuboides es que las caras no son todas rectángulos o cuadrados, sino que son otro tipo de cuadriláteros. Ello supone que las dos diagonales de cada cara sean distintas y que las cuatro diagonales espaciales sean también distintas, por lo que en vez de necesitar 7 elementos enteros (los tres lados, las tres diagonales de las caras y la diagonal espacial) necesitamos 13 valores enteros: los tres lados, las seis diagonales de las caras (dos por cara) y las cuatro diagonales espaciales. Bien, pues aunque sean más elementos los que deben ser enteros, para este tipo de cajas se encontraron ejemplos en el año 2010.

Primer paralelepípedo perfecto encontrado

En la imagen tenéis uno de ellos. Como se puede ver, las caras a izquierda y derecha son dos rombos de lados 103 y 106 que distan 271 (estos son los tres lados del paralelepípedo) cuyas diagonales miden (101,183); las diagonales del resto de caras son (266,312) y (255,323); y las diagonales espaciales miden (272,278,300,374). Como veis, los 13 valores son enteros positivos.

El hecho de encontrar un paralelepípedo perfecto fue una sorpresa, ya que se creía que no existía ninguno. Pero la sorpresa fue aún mayor cuando se descubrió que éste (que fue el primero que se descubrió) no era el único: se conocen al menos 30 de estos paralelepípedos perfectos. Aquí tenéis información sobre ello, aunque por desgracia el artículo no es de acceso público. Pero para compensar esto, os dejoeste otro artículo con mucha información sobre la búsqueda de los cuboides perfectos.

Como podéis ver, ciertos problemas sencillos de plantear y explicar (hasta un niño podría entender su planteamiento) puede ser de interés para matemáticos y tremendamente difíciles de resolver, y el que nos ha ocupado hoy es un buen ejemplo. Todavía no se han encontrado cuboides perfectos, ni se ha demostrado que no existan, por lo que seguimos, y posiblemente seguiremos durante mucho tiempo, en busca de la caja perfecta.

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Algo tan sencillo como calcular la distancia entre dos puntos puede ser determinante en un juicio.

Manhattan desde el Empire State Building. Foto de Patrick Theiner (Licencia CC-BY-SA 3.0).

Creo que habrá poca discusión en el hecho de que la distancia, se entiende que la más corta, entre dos puntos en una superficie plana es la línea recta que une dichos puntos (aunque, recordemos, no sea la más rápida). Por tanto, si queremos calcular la distancia entre dos puntos en una ciudad, simplemente tendremos que medir el segmento de recta que une dichos puntos.

Vale, la Tierra no es plana (de hecho, no se puede representar fielmente en un plano), pero lo que sí es cierto que un “trocito” pequeño (es decir, “localmente”) sí que “se parece” a un plano, por lo que podemos hablar de la línea recta de toda la vida en una ciudad y nos evitamos hablar de geodésicas y demás.

Bueno, seguimos con lo que estábamos. Decíamos que la distancia entre dos puntos en una ciudad sería lo que mida la línea recta que une ambos puntos. Al menos eso dice la teoría, porque en la práctica normalmente no podremos “recorrer” dicha línea recta, a no ser que tengamos la inusual cualidad de atravesar paredes y edificios.

Pongamos un ejemplo. He tomado una imagen de La Carolina (Jaén) sacada de Google Maps y he marcado dos puntos en dos de las calles:

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Aunque sobre el papel podríamos unirlos con una línea recta (en rojo en la siguiente imagen), es evidente que en realidad no podríamos recorrer ese camino, por lo que tendríamos que ir recorriendo calles según el propio mapa. En la imagen podéis ver dos de esos caminos posibles (en verde y en azul):

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

De hecho, esos dos caminos son mínimos, en el sentido de que ambos tienen longitud mínima en esta nueva manera de calcular la distancia. Esta manera de medir distancias se denomina distancia Manhattan, y, de forma más general, nos dice cuál es la distancia entre dos puntos en una cuadrícula de “calles” (líneas rectas) y “edificios” (cuadros rodeados por líneas rectas), tipo ciudad (el nombre de Manhattan es, precisamente, por el diseño en forma de cuadrícula que tienen la mayoría de sus calles).

Matemáticamente, si tomamos dos puntos p y q en una cuadrícula con coordenadas p=(p1,p2) y q=(q1,q2), la distancia Manhattan entre dichos puntos es la suma de los valores absolutos de las diferencias entre las coordenadas. Es decir:

d(p,q)=|q1-p1|+|q2-p2|

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

En la imagen, podéis ver una cuadrícula en la que tenemos dos puntos unidos con una línea recta (en verde), que corresponde con la distancia habitual (la euclídea), y varias maneras de unir ambos puntos con un camino mínimo siguiendo las calles de la cuadrícula (lo que sería la distancia Manhattan entre ambos puntos). Podéis profundizar sobre este tema, conocido también como geometría taxicab, en este enlace.

Y ahora lo que se estará preguntando más de uno: ¿qué tiene que ver todo esto con un juicio? Vamos con la historia que me ha llevado a escribir este artículo.

Corría el año 2002 cuando James Robbins es detenido precisamente en Manhattan, concretamente en la esquina de la Octava Avenida con la Calle 40, por venta de drogas. Además, su caso tenía como agravante que lo hizo a menos de 1000 pies de un colegio, el Holy Cross, situado en la Calle 43.

En un intento de eliminar dicho agravante, los abogados de Robbins echaron mano de la distancia Manhattan. En la imagen siguiente podéis ver los dos puntos, la esquina en la que detuvieron a Robbins y el colegio, y el camino de mínima distancia según la distancia Manhattan:

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Tomar esta distancia como referencia eliminaba el agravante de los 1000 pies, ya que la longitud que separaría en este caso ambos puntos era de 1254 pies: los 764 pies que habría que recorrer de la Octava Avenida antes de girar en ángulo recto y los 490 pies que recorreríamos de la Calle 43 hasta llegar al Holy Cross.

Pero no sirvió. El juez, entiendo yo, consideró que esa distancia máxima era deun radio de 1000 pies, por lo que habría que calcular la longitud que separa ambos puntos en línea recta. ¿Cómo calcular dicha longitud? Pues con los datos anteriores es sencillo hacerlo utilizando el teorema de Pitágoras. Los dos recorridos anteriores serían los catetos de un hipotético triángulo rectángulo, por lo que la línea recta que buscamos sería la hipotenusa de dicho triángulo, como puede verse en la imagen siguiente:

Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Usando este teorema, tenemos que 7642+4902=823796, cuya raíz cuadrada es 907.63 pies, que corresponde con la distancia en línea recta entre ambos puntos. Como esta longitud es menor que 1000 pies, el agravante de proximidad no se pudo eliminar, y a Robbins le cayeron de 6 a 12 años de cárcel.

Este caso, supongo que por lo curioso del asunto, tuvo cierta relevancia en su momento, llegando a aparecer en el New York Times. Yo no conozco más casos parecidos, en los que las matemáticas sean tan relevantes como para determinar la condena de un acusado, pero igual vosotros tenéis información sobre alguno más. Si es así, podéis utilizar los comentarios para hablarnos de ello.